Uzay Geometrisinin Temel Kavramları ve Katı Cisimler

Nokta, doğru ve düzlemin uzayda gösterimi

Nokta, uzayda bir konumu belirtir; uzunluğu, genişliği veya yüksekliği yoktur. Genellikle büyük harflerle adlandırılır ve küçük bir nokta ile gösterilir. Örneğin bir küpün köşelerinden biri A noktası olarak adlandırılabilir. Bu gösterim, köşenin cismin içindeki yerini belirtir; noktanın kendisi bir yüzey ya da doğru parçası değildir.

Doğru, iki yönde sonsuza kadar uzanan ve üzerinde sonsuz sayıda nokta bulunan düz çizgidir. İki farklı noktadan yalnızca bir doğru geçer. A ve B noktalarından geçen doğru, AB doğrusu biçiminde adlandırılabilir. Bir küpün karşılıklı iki köşesini birleştiren çizgi, küpün uzay köşegeni olarak düşünülebilir; ancak çizimin yalnızca görünen kısmına bakarak bu çizginin bir yüzeyde bulunduğu sanılmamalıdır. Doğrunun iki uçta da devam ettiği kabul edilir.

Düzlem, her yönde sınırsız biçimde uzanan iki boyutlu yüzeydir. Kâğıt, masa yüzeyi veya bir küpün yüzü düzlemi anlamaya yardımcı olur; gerçek bir düzlem bu örnekler gibi sınırlı değildir. Aynı doğru üzerinde olmayan üç nokta bir düzlemi belirler. Örneğin bir küpün aynı yüzündeki üç köşe, o yüzün bulunduğu düzlemi belirleyebilir. Bir doğru düzlemin içinde bulunabilir, düzlemi tek bir noktada kesebilir veya düzlemle paralel olabilir. Bu ilişkileri yorumlarken çizimdeki perspektif nedeniyle bazı çizgilerin kısa ya da eğik görünmesinin, onların gerçek uzunluk ve yönlerini değiştirmediği unutulmamalıdır.

Doğru ve düzlemlerin uzaydaki konumları

Uzayda iki doğru kesişebilir, paralel olabilir veya birbirine göre aykırı konumda bulunabilir. Kesişen doğruların ortak bir noktası vardır. Paralel doğrular aynı düzlemde bulunur ve ne kadar uzatılırsa uzatılsın kesişmez. Aykırı doğrular ise aynı düzlemde bulunmadıkları için kesişmez; bu nedenle yalnızca çizimde farklı yönlere gidiyor görünmeleri, onların paralel olduğunu göstermeye yetmez.

Bir doğru ile bir düzlemin ilişkisi de üç temel biçimde incelenir. Doğru düzlemin içinde olabilir, düzlemi tek bir noktada kesebilir veya düzleme paralel olabilir. Doğru düzlemi tek noktada kesiyorsa bu nokta kesişim noktasıdır. Doğru, düzlemi bir noktada kesiyor ve bu noktadan geçen düzlem doğrularının tümüne dikse düzleme dik kabul edilir. Örneğin dikdörtgenler prizmasının taban düzlemi ile tabandan yukarı uzanan bir ayrıt arasındaki ilişki, diklik fikrini gösterir.

İki düzlem kesiştiğinde kesişimleri bir doğru oluşturur. Örneğin bir kutunun yan yüzü ile tabanı, ortak bir ayrıt boyunca kesişir. İki düzlem ortak noktaya sahip değilse paraleldir. Bir soruda konumları belirlemek için önce ortak nokta veya ortak doğru aranır; ardından aynı düzlemde bulunup bulunmadıkları ve diklik koşulu kontrol edilir. Bir çizginin kâğıt üzerinde kesişiyor gibi görünmesi tek başına yeterli değildir; çizimin üç boyutlu yapısı ve verilen ayrıt ilişkileri birlikte değerlendirilmelidir.

Temel katı cisimlerin özellikleri

Katı cisimlerin temel elemanları yüz, ayrıt ve köşedir; bu elemanlar cismin nasıl sınırlandığını tanımlar. Prizma, iki eş ve paralel tabana sahip bir cisimdir; dikdörtgenler prizması ve küp bunun yaygın örnekleridir. Piramidin bir tabanı ve bu tabanın dışındaki tek bir tepe noktası vardır; taban köşeleri tepeyle birleştirildiğinde üçgensel yan yüzler oluşur. Silindirin iki eş ve paralel dairesel tabanı ile eğri bir yan yüzü bulunur. Koninin bir dairesel tabanı ve bu tabanın dışında tek bir tepe noktası vardır. Kürenin yüzeyi, merkezden eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu kapalı eğri yüzeydir ve köşe ya da ayrıt içermez. Örneğin konserve kutusu silindire, dondurma külahı koniye, top ise küreye modellenebilir. Bir cismin temel elemanlarını belirlemek, alan ve hacim hesabından önce hangi şekille çalışıldığını anlamayı sağlar.

Katı cisimlerde yüzey alanı ve hacim

Yüzey alanı, bir katı cismin dışını oluşturan tüm yüzlerin toplam alanıdır ve kare birimle ifade edilir. Hacim ise cismin uzayda kapladığı bölgedir; küp birimle ifade edilir. Bu iki kavram karıştırılmamalıdır: Bir kutunun dışını boyamak için yüzey alanı, içine kaç küçük küp sığacağını bulmak için hacim kullanılır.

Dikdörtgenler prizmasında hacim, taban alanının yükseklikle çarpılmasıyla bulunur. Taban dikdörtgense taban alanı uzunluk ile genişliğin çarpımına eşittir. Bu nedenle uzunluğu 5 birim, genişliği 3 birim ve yüksekliği 2 birim olan bir prizmanın hacmi 5 × 3 × 2 = 30 küp birimdir. Aynı cisim için yüzey alanı, birbirine karşılık gelen eş dikdörtgen yüz çiftlerinin alanlarının toplanmasıyla bulunur. Formül 2(5 × 3 + 5 × 2 + 3 × 2) biçiminde yazılır ve sonuç 62 kare birimdir. Böylece hacim içerideki boşluğu, yüzey alanı ise dış sınırı ölçer.

Prizma ve silindir gibi cisimlerde hacim genel olarak taban alanı ile yüksekliğin çarpımıdır. Piramit ve konide aynı taban-yükseklik fikri bulunur; ancak bu cisimler tabandan tepeye doğru daraldığı için hacimleri, aynı taban ve yüksekliğe sahip prizma ya da silindirin hacminin üçte biri olarak hesaplanır. Kürenin hacmi ve yüzey alanı ise yarıçapına bağlı özel bağıntılarla bulunur. Hesaplamaya başlamadan önce verilen ölçünün cismin hangi elemanına ait olduğu belirlenmeli, tüm yüzlerin hesaba katılıp katılmadığı kontrol edilmelidir.

Üç boyutlu şekillerde ölçü ve formül seçimi

Formül seçiminin ilk adımı cismin türünü ve verilen ölçüleri belirlemektir. Taban alanı ile yükseklik biliniyorsa prizma veya silindir için taban alanı × yükseklik bağıntısı düşünülür. Piramit ya da koni için aynı çarpımın üçte biri alınır. Yüzey alanı sorularında ise cismin bütün dış yüzleri mi, yalnızca belirli bir yüzü mü istendiği ayırt edilmelidir. Örneğin üstü açık bir kutunun hesabında kapak yüzü toplam yüzey alanına eklenmez. Dikdörtgenler prizmasında uzunluk, genişlik ve yükseklik aynı birime çevrilmeden çarpılırsa sonuç hatalı olur. Son adımda hacim için küp birimi, alan için kare birimi kullanılması ve bulunan sonucun sorudaki büyüklükle uyumlu olup olmadığı kontrol edilmelidir.

Uzaysal görselleştirme ve kesitlerin temel yorumu

Üç boyutlu cisimler kâğıt üzerinde iki boyutlu çizimlerle gösterilir. Görünmeyen ayrıtlar kesik çizgiyle belirtilebilir; önde görünen yüzler ise cismin tamamını temsil etmez. Bir şekli yorumlarken önce tabanı, yüksekliği, dik açı işaretlerini ve eşit uzunlukları belirlemek gerekir. Örneğin bir dikdörtgenler prizmasının çiziminde öndeki dikdörtgen görünürken arka yüzün bir bölümü görünmeyebilir; buna rağmen karşılıklı yüzlerin eş olduğu kabul edilir.

Kesit, bir cismin bir düzlemle kesilmesi sonucunda ortaya çıkan düzlemsel yüzeydir. Kesitin şekli, kesme düzleminin cisme nasıl yöneldiğine ve cismin hangi bölgesinden geçtiğine bağlıdır. Bir küp, yüzlerinden birine paralel bir düzlemle kesildiğinde kare biçimli bir kesit oluşabilir. Silindirin tabanlarına paralel kesiti daire, ekseninden geçen kesiti ise dikdörtgen biçiminde düşünülebilir. Bu yorumlarda kesit düzleminin yönü ve cismin sınırları birlikte izlenmelidir. İleri kesit ve bileşik cisim soruları ise ayrı bir problem alanıdır.

Uzayda analitik geometri ve koordinatlarla işlem yapmak, noktaları ve doğruları sayısal konumlarla inceleyen ayrı bir konudur.