Vektörlerde Çıkarma İşlemi Nasıl Yapılır?

Vektör çıkarma işleminin tanımı

A vektöründen B vektörünü çıkarmak, A − B fark vektörünü bulmak demektir. Burada ilk yazılan A, kendisinden çıkarma yapılan vektördür; ikinci yazılan B ise çıkarılan vektördür. Sonuç, A ile B arasındaki yönlü farkı gösterir. Vektörler yalnızca sayılardan oluşmadığı için çıkarma işleminde hem büyüklük hem de yön dikkate alınır.

İki vektör aynı başlangıç noktasından çizildiğinde fark vektörü, B vektörünün ucundan A vektörünün ucuna doğru çizilen oktur. Bu nedenle A − B, B − A ile aynı sonuç değildir; vektörlerin işlemdeki sırası önemlidir. Örneğin doğu yönünde 7 birimlik A vektöründen doğu yönünde 3 birimlik B vektörü çıkarılırsa sonuç 4 birim doğu yönündedir. Ters sırada işlem yapılırsa sonuç 4 birim batı yönünde olur.

Bir vektörün yönü okla, büyüklüğü ise okun uzunluğuyla gösterilir. Tek boyutlu problemlerde seçilen pozitif yönün tersi eksi işaretiyle belirtilir; bu nedenle işaret, yön bilgisinin bir parçasıdır.

Çıkarma işleminin ters vektör ekleme olarak gösterilmesi

Vektör çıkarma işleminin temel kuralı, çıkarılan vektörün tersini eklemektir. Bir vektörün tersi, aynı büyüklüğe sahip fakat tam zıt yönde olan vektördür. B vektörünün tersi −B ile gösterilirse A − B işlemi A + (−B) biçiminde yazılır. Böylece çıkarma, toplama yöntemleriyle gerçekleştirilebilir.

Bu kuralın nedeni şudur: B vektörünün yönü ters çevrildiğinde, B’nin yaptığı yönlü etki tersine çevrilmiş olur. A’ya bu ters yönlü vektör eklendiğinde A’dan B çıkarılmış gibi bir sonuç elde edilir. Örneğin A doğu yönünde 5 birim, B doğu yönünde 2 birim olsun. B’nin tersi batı yönünde 2 birimdir. Bu durumda A − B = A + (−B) işlemi, 5 birim doğuya 2 birim batının eklenmesiyle 3 birim doğu sonucunu verir.

Ters vektörün büyüklüğü değişmez; yalnızca yönü değişir. Örneğin kuzeye doğru 4 birimlik bir vektörün tersi güneye doğru 4 birimlik vektördür. Bu ters vektör, geometrik çizimde okun yönünü değiştirmekle elde edilir.

Vektör farkının geometrik olarak bulunması

Geometrik yöntemde önce çıkarılan vektörün tersi çizilir, ardından toplama işlemi uygulanır. A − B bulmak için A vektörüne −B vektörü uçtan uca eklenir. İlk vektörün kuyruğundan son vektörün ucuna çizilen ok fark vektörüdür. Vektörler aynı başlangıç noktasından çizilmişse fark vektörü, B’nin ucundan A’nın ucuna yönelir; bu çizim yön ve büyüklük hakkında doğrudan bilgi verir.

Paralelkenar yöntemi de aynı düşünceye dayanır. A ve −B vektörleri ortak bir başlangıç noktasından çizilir, bu iki vektöre paralel çizgilerle bir paralelkenar oluşturulur ve başlangıç noktasından karşı köşeye çizilen köşegen toplamı, yani A − B farkını verir. Uçtan uca yöntemde vektörlerin yerleri değiştirilebilir; ancak her iki yöntemde de −B’nin kullanıldığı unutulmamalıdır. Örneğin A sağa, B yukarı yönelmişse B önce ters çevrilerek aşağı yönlü hâle getirilir; A ile bu aşağı yönlü vektörün geometrik toplamı fark vektörünü oluşturur.

Aynı doğrultu ve zıt yönlü vektörlerin çıkarılması

Aynı doğrultudaki vektörlerde yönler tek bir eksen üzerinde değerlendirilir. Bir yön pozitif seçilir ve o yöndeki vektörler artı, karşı yöndekiler eksi işaretle yazılır. Ardından çıkarma işlemi normal sayısal işlem gibi yapılır; sonucun işareti, fark vektörünün yönünü belirtir.

Örneğin doğu yönünde 8 birimlik A ve doğu yönünde 3 birimlik B için A − B = 8 − 3 = 5 bulunur. Sonuç pozitif olduğu için fark 5 birim doğudur. A doğu yönünde 8 birim, B batı yönünde 3 birim ise B’nin işareti −3 olur ve A − B = 8 − (−3) = 11 sonucuna ulaşılır. Bu durumda iki yön, çıkarma işleminden sonra aynı yönde etkili olduğu için sonuç 11 birim doğudur. İşlem B − A biçiminde yapılsaydı sonuç 11 birim batı yönünde olurdu.

Bileşenlerine ayrılmış vektörlerin çıkarılması

İki boyutlu bir vektör, birbirine dik x ve y eksenlerindeki bileşenleriyle ifade edilebilir. A vektörünün bileşenleri Ax ve Ay, B vektörünün bileşenleri Bx ve By ise A − B farkı, aynı eksen üzerindeki bileşenlerin ayrı ayrı çıkarılmasıyla bulunur. Bunun nedeni, x yönündeki katkıların yalnızca x yönündeki katkılarla, y yönündeki katkıların da yalnızca y yönündeki katkılarla karşılaştırılmasıdır.

Bileşen yöntemi şu şekilde uygulanır: Önce her vektörün x ve y bileşenleri belirlenir. Daha sonra x bileşenleri ve y bileşenleri ayrı ayrı çıkarılır. Fark vektörünün bileşenleri Rx = Ax − Bx ve Ry = Ay − By olur. Eksi işaretler, ilgili bileşenin seçilen eksenin negatif yönünde olduğunu gösterir.

Örneğin A = (6, 4) ve B = (2, −1) olsun. x bileşeni için Rx = 6 − 2 = 4, y bileşeni için Ry = 4 − (−1) = 5 bulunur. Dolayısıyla A − B = (4, 5) olur. Burada B’nin y bileşeni negatif olduğu için onu çıkarmak, y yönünde 1 birimlik katkıyı eklemekle aynı sonucu vermiştir.

Bu yöntem özellikle vektörler farklı yönlere sahip olduğunda güvenilirdir. Önce B’nin tersini alıp A ile toplamak da aynı sonucu verir: −B = (−2, 1) ve A + (−B) = (6, 4) + (−2, 1) = (4, 5). Göreli hız veya hız değişimi gibi fiziksel uygulamalarda vektör çıkarma ayrıca ele alınır.

Fark vektörünün büyüklük ve yönünün belirlenmesi

Bileşenleri bulunan fark vektörünün büyüklüğü, dik bileşenlerin oluşturduğu dik üçgende Pisagor bağıntısıyla hesaplanır. Fark vektörünün yönü ise bileşenlerin işaretlerine göre belirlenir. Böylece işlem sonucu yalnızca (Rx, Ry) biçiminde bırakılmaz; okun ne kadar uzun olduğu ve hangi yöne baktığı da bulunur.

Büyüklük ve yön için kullanılan bağıntılar şunlardır: |R| = √(Rx² + Ry²) ve θ = arctan(Ry/Rx). Ancak arctan sonucu yorumlanırken Rx ve Ry’nin işaretleri kontrol edilmelidir; çünkü bu işaretler vektörün hangi bölgede bulunduğunu gösterir. Açılar genellikle pozitif x ekseninden başlayarak saat yönünün tersine ölçülür.

Örneğin R = (−3, 4) ise büyüklük |R| = √((-3)² + 4²) = 5 birimdir. x bileşeni negatif, y bileşeni pozitif olduğu için vektör ikinci bölgededir; yani sola ve yukarı yönelir. Bu nedenle yalnızca tanjant değerini hesaplamak yeterli değildir, yönün bulunduğu bölge de belirtilmelidir.