Vektörlerde Toplama: Bileşke Vektör Nasıl Bulunur?

Vektör toplamı ve bileşke vektör

Vektör toplamı, iki veya daha fazla vektörün yön ve büyüklükleri dikkate alınarak tek bir vektörle ifade edilmesidir. Toplam işleminin sonucu olan bu yeni vektöre bileşke vektör denir. Bileşke, verilen vektörlerin birlikte oluşturduğu net yönlü etkiyi gösterir. Bu nedenle bileşke vektör yalnızca bir sayı değildir; bir büyüklüğü, doğrultusu ve yönü vardır.

Bir vektör okla gösterilir. Okun uzunluğu vektörün büyüklüğünü, okun baktığı taraf ise yönünü temsil eder. Vektörler aynı doğrultuda ve aynı yöndeyse büyüklükleri doğrudan toplanır. Örneğin doğuya doğru 4 birimlik bir vektör ile yine doğuya doğru 6 birimlik bir vektörün bileşkesi doğuya doğru 10 birimdir. Yönler zıt olduğunda ise büyük büyüklükten küçük çıkarılır ve yön, büyük olan vektörün yönü olur; doğuya 8 birim ve batıya 3 birim için bileşke doğuya 5 birimdir.

Farklı doğrultulardaki vektörlerde sonuç, iki vektörün basit sayı toplamından farklı olur. Doğuya 9 birim ve kuzeye 5 birimlik iki vektör, dik doğrultularda oldukları için bir dik üçgenin kenarları gibi düşünülebilir. Bileşke, ilk vektörün başlangıcından ikinci vektörün sonuna uzanır; büyüklüğü yaklaşık 10,3 birimdir ve yönü doğunun yaklaşık 29 derece kuzeyidir. Böylece toplam işleminde hem net yer değiştirme hem de net yön belirlenmiş olur.

Vektörlerin hangi sırayla toplandığı bileşkeyi değiştirmez; ancak çizimde okların uç uca doğru yerleştirilmesi gerekir. Aynı iki vektör farklı sırayla yerleştirilse de başlangıçtan son uca çizilen bileşke aynı büyüklük ve yönde kalır.

Uç uca ekleme yöntemi

Uç uca ekleme yöntemi, vektörleri art arda yerleştirerek toplam vektörü grafik üzerinde bulma yöntemidir. İlk vektör seçilen başlangıç noktasından çizilir. İkinci vektörün yönü ve uzunluğu değiştirilmeden kuyruğu, yani başlangıç ucu, ilk vektörün başına yerleştirilir. İkiden fazla vektör varsa her yeni vektör, kendisinden öncekinin başına eklenir.

Son vektörün başına ulaşıldığında, ilk vektörün kuyruğundan son vektörün başına bir ok çizilir. Bu ok bileşke vektördür. Yöntemin temelinde, ardışık yer değiştirmelerin başlangıçtan son noktaya ulaşan tek bir yer değiştirmeyle eşdeğer olması vardır. Vektörlerin yönleri ve büyüklükleri değişmeden yalnızca konumları taşındığı için toplamın sonucu korunur.

Örneğin 9 birim doğuya ve 5 birim kuzeye giden iki hareket düşünelim. Önce doğuya yönelen 9 birimlik oku çizip kuzeye yönelen 5 birimlik okun kuyruğunu bunun başına koyarız. İlk okun kuyruğundan ikinci okun başına çizilen çapraz ok bileşkedir. Çizim ölçeksiz yapılırsa yalnızca yaklaşık bir sonuç verir; ölçekli çizimde bileşkenin uzunluğu cetvelle, yönü ise açıölçerle belirlenebilir. Bu örnekte bileşkenin uzunluğu yaklaşık 10,3 birimdir.

Uç uca ekleme yöntemi, iki vektörle sınırlı değildir. Birden fazla vektör aynı kuralla art arda eklenir ve bileşke yine ilk kuyruğu son başa bağlayan ok olur. Vektörlerin eklenme sırası değişse bile doğru çizim yapıldığında bileşke değişmez.

Paralelkenar yöntemi

Paralelkenar yöntemi, başlangıç noktaları aynı olan iki vektörün bileşkesini bulmak için kullanılır. İki vektör aynı başlangıç noktasından çizilir; her vektörün ucundan diğer vektöre paralel bir çizgi geçirilerek bir paralelkenar oluşturulur. Ortak başlangıçtan paralelkenarın karşı köşesine çizilen köşegen bileşke vektördür.

Bu yöntemde köşegenin yönü, iki vektörün birlikte oluşturduğu net yönü; uzunluğu ise bileşkenin büyüklüğünü gösterir. Vektörler arasındaki açı küçüldükçe aynı yönlü katkı artar ve bileşke genellikle büyür. Vektörler zıt yönlere yaklaştıkça katkılar birbirini daha fazla azaltır. Uç uca ekleme yöntemiyle paralelkenar yöntemi farklı çizim düzenleri kullansa da iki vektör için aynı bileşkeyi verir. Aynı grafik yaklaşımı, kuvvetlerin bileşkesi ve denge koşulları konusunun temelini oluşturur.

Yön ve büyüklüğün toplama sonucuna etkisi

Bir vektörün büyüklüğü artırıldığında, o vektörün bileşkeye yaptığı katkı artar; yönü değiştirildiğinde ise bu katkının hangi doğrultuda etkili olduğu değişir. Aynı doğrultu ve yöndeki vektörler birbirini desteklediği için bileşkenin büyüklüğü toplam büyüklüğe eşit olabilir. Aynı doğrultuda fakat zıt yöndeki vektörler birbirini azaltır; eşit büyüklükteyseler bileşke sıfır olur.

Farklı yönlerdeki vektörlerin toplamı, her bir vektörün ortak doğrultulara yaptığı katkılara bağlıdır. Örneğin biri doğuya, diğeri kuzeye yönelen iki vektör birbirini doğrudan artırmaz; biri yatay, diğeri düşey katkı oluşturur. Bu nedenle bileşke, iki okun uzunluklarının toplamından daha küçük bir uzunluğa sahip olur ve iki yön arasında bir doğrultuya yönelir. Grafik üzerinde paralelkenarın köşegeni bu net sonucu gösterir. Vektörlerin büyüklükleri veya aralarındaki açı değiştirilirse köşegenin hem uzunluğu hem yönü değişir.

Bileşenlerine ayırarak vektör toplama

Açılı vektörleri toplamanın hesaplamaya uygun yolu, onları birbirine dik yatay ve düşey bileşenlere ayırmaktır. Bir vektörün x bileşeni yatay doğrultudaki katkısını, y bileşeni ise düşey doğrultudaki katkısını gösterir. Vektör ve bileşenleri bir dik üçgen oluşturduğu için trigonometri kullanılabilir. Açının x ekseniyle yapıldığı durumda bileşenler, vektörün büyüklüğü ile kosinüs ve sinüs ilişkileri kullanılarak bulunur.

Önce bütün vektörler için aynı x ve y eksenleri seçilir. Her vektörün x bileşenleri kendi aralarında, y bileşenleri de kendi aralarında toplanır. Aynı eksen üzerindeki bileşenler aynı doğrultuda olduğundan normal sayılar gibi toplanabilir; zıt yönlü olanlar işaretleriyle birlikte hesaba katılır. Böylece açılı vektörlerin toplamı iki basit eksen toplamına dönüştürülür.

Örneğin doğuya 9 birim ve kuzeye 5 birim olan iki vektörde bileşen toplamları Rx = 9 birim ve Ry = 5 birimdir. Bu iki dik bileşen, bileşke vektörün dik üçgenini oluşturur. Daha genel bir durumda, büyüklüğü A ve x ekseniyle açısı θ olan bir vektör için Ax = A cos θ ve Ay = A sin θ yazılır; yön seçimine göre bileşenlerden biri negatif olabilir. Bileşen yöntemi, çizimin ölçüm hatasına bağlı kalmadan hesaplama yapmayı sağlar.

Üç boyutlu vektörlerde toplama, aynı fikrin üçüncü bir eksen eklenmiş hâlidir ve ayrı bir konunun kapsamındadır.

Bileşke vektörün büyüklük ve yönünün belirlenmesi

Bileşen toplamları bulunduğunda bileşke vektörün büyüklüğü ve yönü ayrı ayrı hesaplanır. Rx bileşke vektörün yatay, Ry ise düşey katkısıdır. Bu iki bileşen birbirine dik olduğundan bileşke büyüklüğü Pisagor bağıntısıyla bulunur. Bileşkenin x ekseniyle yaptığı açı ise yatay ve düşey bileşenlerin oranı kullanılarak belirlenir.

Dik doğrultudaki 9 birimlik doğu bileşeni ile 5 birimlik kuzey bileşeni için R = √(9² + 5²) = √106 ≈ 10,3 birim bulunur. Yön açısı tanθ = 5/9 bağıntısıyla hesaplanır ve yaklaşık 29 derece kuzey yönünde, doğuya göre ölçülür. Sonuç “10,3 birim” demekle tamamlanmaz; yönün de belirtilmesi gerekir. Çünkü aynı büyüklükte fakat farklı yönlerdeki vektörler fiziksel olarak farklı sonuçlar doğurur.

Bileşenlerden biri negatifse açı, seçilen eksenlere göre doğru bölgeye yerleştirilmelidir. Örneğin yatay bileşen batıyı gösteriyorsa Rx negatif alınır; düşey bileşenin işareti de kuzey veya güneye göre belirlenir. Grafik yöntemiyle bulunan yön açıölçerle yaklaşık ölçülebilir, bileşen yöntemiyle bulunan değer ise trigonometriyle hesaplanabilir.

Skaler toplam ile vektörel toplam arasındaki fark

Skaler toplamda yalnızca sayı değerleri toplanır; yön hesaba katılmaz. Vektörel toplamda ise büyüklükle birlikte yön de dikkate alınır. Bu yüzden iki vektörün büyüklüklerini toplamak, her durumda bileşke vektörün büyüklüğünü vermez; örneğin dik yönlü vektörlerde bileşke Pisagor bağıntısıyla bulunur.