Veriden Olasılığa: Deneysel Olasılık Nasıl Hesaplanır?

Deneysel olasılık kavramı

Deneysel olasılık, bir olayın gerçek denemelerde gerçekleşme sayısının toplam deneme sayısına oranıdır. Buradaki amaç, varsayımsal bir model kurmadan, doğrudan gözlenen veriyi kullanarak olayın ne kadar sık gerçekleştiğini belirlemektir. Olasılık değeri 0 ile 1 arasında olur: 0 olayın gözlenmediğini, 1 ise bütün denemelerde gerçekleştiğini gösterir. Ancak deneysel olasılık, belirli bir veri grubuna ait gözlemi anlatır; her durumda değişmez ve kesin bir sonuç anlamına gelmez.

Örneğin bir para 50 kez atıldığında 28 kez tura gelmiş olsun. Tura gelmesi olayı için deneysel olasılık 28 gerçekleşme ve 50 toplam deneme üzerinden bulunur. Sonuç 28/50 = 0,56 olduğundan bu deneyde tura gelme oranı %56'dır. Bu değer, yapılan 50 atışta gözlenen oranı gösterir; paranın her zaman tam olarak %56 olasılıkla tura geleceğini söylemez.

Deneysel olasılıkta temel mekanizma, sonuçları sayılabilir bir veriye dönüştürmektir. Önce hangi olayın incelendiği belirlenir, sonra bu olayın kaç denemede gerçekleştiği sayılır ve bu sayı bütün denemelerin sayısıyla karşılaştırılır. Böylece tek tek sonuçlar, yorumlanabilir bir orana dönüşür.

Deneysel olasılığın hesaplanması

Bir veri tablosundan deneysel olasılık hesaplamak için üç adım izlenir: İncelenecek olay belirlenir, bu olayın gerçekleştiği deneme sayısı bulunur ve gerçekleşme sayısı toplam deneme sayısına bölünür. Toplam deneme sayısı, tabloda yer alan bütün uygun gözlemlerin sayısıdır. Aynı denemede birden fazla özelliğin kaydedildiği tablolarda ise hangi toplamın kullanılacağı, soruda tanımlanan deneme birimine göre seçilmelidir.

Örneğin bir öğrenci 40 serbest atış yapmış ve bunların 26'sını isabet ettirmiş olsun. “İsabetli atış” olayı için gerçekleşme sayısı 26, toplam deneme sayısı 40'tır. Bu durumda deneysel olasılık 26/40 = 0,65 olur. Yani gözlenen verilere göre atışların %65'i isabetlidir. Aynı yöntem bir veri tablosunda “yağmurlu gün”, “hatalı ürün” veya “kırmızı kart” gibi sayılabilen herhangi bir olay için kullanılabilir.

Sonucun anlamı, yalnızca bölme işlemiyle değil, olayın doğru tanımlanmasıyla da belirlenir. “İsabetli atış” ile “isabetsiz atış” farklı olaylardır; biri için kullanılan gerçekleşme sayısı diğerinin sayısı olamaz. Hesaplama tamamlandıktan sonra oran, verinin hangi bölümünün incelenen olaya ait olduğunu anlatır.

Pay ve paydanın belirlenmesi

Deneysel olasılıkta pay, incelenen olayın gerçekleştiği gözlem sayısıdır. Payda ise aynı veri içinde dikkate alınan toplam deneme sayısıdır. Bu nedenle önce sorunun “hangi olayın olasılığı?” ve “hangi denemeler arasından?” sorularına cevap verilmelidir. Genel biçim şöyledir: Deneysel olasılık = olayın gerçekleşme sayısı / toplam deneme sayısı.

Örneğin bir kutudaki 30 üründen 6'sı kusurlu olarak kaydedilmişse “rastgele seçilen ürünün kusurlu olması” olayının payı 6, paydası 30'dur. Deneysel olasılık 6/30 = 0,20, yani %20 olur. Burada 24 olan sağlam ürün sayısı, kusurlu ürün olayının payına yazılmaz. Tersine “sağlam ürün” olayı sorulsaydı pay 24 olur ve deneysel olasılık 24/30 = 0,80 olarak hesaplanır.

Bazı tablolarda satır ve sütun toplamları birlikte bulunabilir. Örneğin yalnızca belirli bir sınıftaki ürünler inceleniyorsa payda bütün ürünlerin toplamı değil, o sınıfa ait toplam ürün sayısı olmalıdır. Buna karşılık tüm tablodan rastgele seçilen bir ürünün belirli özelliğe sahip olma olasılığı soruluyorsa payda tablonun genel toplamıdır. Yanlış payda, doğru görünen bir bölme işlemiyle bile yanlış olasılık üretir. Payın olayla, paydanın ise olayın seçildiği toplam grupla uyumlu olması gerekir.

Deneysel olasılığın oran ve yüzde olarak gösterimi

Deneysel olasılık aynı bilgi farklı gösterimlerle yazılabilir. Örneğin 12 başarılı sonuç ve 30 toplam deneme için oran 12/30'dur. Bu kesir sadeleştirilirse 2/5, ondalık gösterimle 0,4 ve yüzde gösterimle %40 olur. Kesirden yüzdeye geçmek için oran 100 ile çarpılır: (12/30) x 100 = 40. Ondalık gösterimdeki sayı ise 100 ile çarpılarak yüzdeye çevrilir.

Gösterim biçimi değişse de yorum değişmez: Her 30 denemenin verisine göre 12'si olayın gerçekleştiğini göstermektedir. Olasılık 0 ile 1 arasında, yüzde gösterimi ise %0 ile %100 arasında yazılır. Bir veri tablosunu yorumlarken kesrin neyin neye oranı olduğunu belirtmek, yalnızca sayıyı yazmaktan daha açıktır.

Deneme sayısının ve tekrarların yoruma etkisi

Deneme sayısı, deneysel olasılığın ne kadar sağlam yorumlanabileceğini etkiler. Az sayıda denemede ortaya çıkan oran, rastlantısal dalgalanmalardan daha fazla etkilenebilir. Örneğin bir para yalnızca 4 kez atılıp 3 kez tura gelirse deneysel oran %75 olur. Daha fazla atış yapılması, tek bir küçük grubun oluşturduğu bu yüksek oranın değişip daha dengeli bir gözlenen orana dönüşmesine yol açabilir.

Aynı deney çok sayıda ve benzer koşullarda tekrarlandığında, sonuçların oranı genellikle daha istikrarlı bir görünüm kazanır. Bu, her yeni denemede oranın mutlaka artacağı veya azalacağı anlamına gelmez; yalnızca tek tek sonuçların toplam oran üzerindeki etkisi görece azalır. Denemelerin aynı kuralla, benzer koşullarda ve birbirinden bağımsız biçimde yürütülmesi de yorumu güçlendirir. Örneğin bir atış deneyi farklı mesafeler kullanılarak yapılırsa, elde edilen oran tek bir atış koşulunu temsil etmeyebilir.

Verinin temsil gücü, gözlenen grubun incelenen durumu ne kadar iyi yansıttığıyla ilgilidir. Deney koşulları değişirse veya bazı sonuçlar kaydedilmezse, büyük bir deneme sayısı bile yanıltıcı olabilir. İstatistiksel tahmin ve güven aralıkları ise bu gözlenen oranın belirsizliğini daha ileri düzeyde inceleyen ayrı konulardır.

Deneysel ve teorik olasılık arasındaki temel ilişki

Teorik olasılık, olası sonuçların matematiksel özelliklerinden yararlanılarak, çoğu zaman sonuçların eşit olasılıklı olduğu varsayımıyla hesaplanır. Eşit olasılıklı sonuçlarda bir olayın teorik olasılığı, olayın içerdiği sonuç sayısının örneklem uzayındaki toplam sonuç sayısına oranıdır. Örneğin adil bir sayı küpünde 4 veya daha küçük bir sayı gelmesi olayında uygun sonuçlar 1, 2, 3 ve 4'tür; toplam mümkün sonuç sayısı 6 olduğundan teorik olasılık 4/6'dır.

Deneysel olasılık ise gerçek denemelerden elde edilen gerçekleşme sayısını kullanır. Adil bir sayı küpü çok sayıda atıldığında, her yüzün gözlenen oranı teorik olarak 1/6'ya yaklaşabilir. Ancak az sayıda atışta bazı yüzler diğerlerinden daha fazla görülebilir. Bu nedenle teorik olasılık modele göre beklenen oranı, deneysel olasılık ise belirli denemelerde gözlenen oranı gösterir. Deney koşulları modele uygunsa ve tekrar sayısı yeterince artarsa deneysel oran teorik olasılığa yaklaşma eğilimi gösterebilir.

İki yaklaşım birbirinin yerine her zaman kullanılamaz. Gerçek bir veri tablosu varsa deneysel olasılık hesaplanır; tüm sonuçların eşit olasılıklı olduğu ideal bir durum tanımlanmışsa teorik olasılık kullanılabilir. Olasılık dağılımları ve beklenen değer, bu ilişkinin daha ileri düzeyde ele alındığı konulardır.