AYT Analitik Geometri: Nokta, Doğru ve Çember Denklemleri

Koordinat düzlemi ve noktaların gösterimi

Koordinat düzlemi, birbirine dik iki sayı doğrusunun oluşturduğu düzlemdir. Yatay eksene x ekseni, düşey eksene y ekseni denir; bu eksenlerin kesiştiği nokta başlangıç noktasıdır ve O(0, 0) ile gösterilir. Düzlem dört bölgeye ayrılır. Bir nokta A(x, y) biçiminde yazıldığında ilk sayı noktanın x eksenine göre yatay konumunu, ikinci sayı ise y eksenine göre düşey konumunu belirtir.

Örneğin A(3, 2) noktası başlangıçtan sağa 3 birim ve yukarı 2 birim gidilerek bulunur. B(-2, 4) noktası ise sola 2, yukarı 4 birimdedir. Bir noktanın eksen üzerinde olması için ilgili koordinatın sıfır olması gerekir: (a, 0) x ekseni, (0, b) y ekseni üzerindedir. Koordinatları bilinen noktalar arasındaki geometrik ilişkiler, sonraki adımlarda uzaklık, orta nokta ve doğru denklemleriyle cebirsel olarak incelenir.

Noktalar arasındaki uzaklık ve orta nokta

A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktaları arasındaki uzaklık, bu iki noktanın yatay ve düşey koordinat farklarından yararlanılarak bulunur. Yatay fark x2 - x1, düşey fark y2 - y1 olur. Bu farklar, AB doğru parçasının yatay ve düşey bileşenleri gibi düşünülebilir. Bu iki uzunlukla oluşan dik üçgende Pisagor ilişkisi kullanıldığında uzaklık formülü elde edilir:

AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Formülde farkların hangi sırayla yazıldığı sonucu değiştirmez; çünkü farkların karesi alınır. Örneğin A(1, 2) ve B(5, 5) için yatay fark 4, düşey fark 3’tür. Dolayısıyla AB = √(4^2 + 3^2) = √25 = 5 birimdir. Böylece koordinat düzlemindeki çizimi ölçmeye gerek kalmadan iki nokta arasındaki uzunluk bulunur.

A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktalarını birleştiren doğru parçasının orta noktası, her iki koordinatın ayrı ayrı aritmetik ortalaması alınarak bulunur:

M = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)

Örneğin A(-2, 4) ve B(6, 0) noktalarının orta noktası M((−2 + 6)/2, (4 + 0)/2) = M(2, 2) olur. Orta nokta, iki uç noktaya eşit uzaklıktadır. Bir uç nokta ve orta nokta verildiğinde diğer uç nokta da her koordinat için aynı ortalama ilişkisi çözülerek bulunabilir. AYT sorularında bir doğru parçasının uzunluğu, orta noktası veya uç noktalarından biri istendiğinde önce verilen noktaları koordinat çiftleri olarak düzenlemek işlem hatalarını azaltır.

Doğrunun eğimi ve doğru denklemleri

Bir doğrunun eğimi, x yönünde bir birimlik değişime karşılık y yönündeki değişimin ne kadar olduğunu gösterir. A(x1, y1) ve B(x2, y2) aynı doğru üzerindeyse ve x1 ile x2 farklıysa eğim şöyle hesaplanır:

m = (y2 - y1)/(x2 - x1)

Eğim pozitifse doğru soldan sağa gidildikçe yükselir; negatifse alçalır. Eğim sıfır olduğunda doğru yataydır. Düşey doğrularda x koordinatı sabit olduğundan eğim kesir biçiminde tanımlanamaz. Bu nedenle düşey doğruların denklemi x = sabit biçimindedir.

Bir noktanın ve doğrunun eğiminin bilindiği durumda nokta-eğim biçimi kullanılır:

y - y1 = m(x - x1)

Örneğin A(2, 3) noktasından geçen ve eğimi 4 olan doğrunun denklemi y - 3 = 4(x - 2) olur. Düzenlenirse y = 4x - 5 elde edilir. Buradaki sabit terim, doğrunun y eksenini kestiği değeri gösterir. İki nokta verildiğinde önce eğim hesaplanır, ardından nokta-eğim biçimine bu noktalardan biri yerleştirilir. Örneğin A(1, 2) ve B(5, 10) için m = (10 - 2)/(5 - 1) = 2 olduğundan doğru denklemi y - 2 = 2(x - 1), yani y = 2x olur.

Doğrunun genel denklemi Ax + By + C = 0 biçimindedir. B sıfır değilse bu denklem y = mx + n biçimine çevrilerek eğim okunabilir: m = -A/B. Ancak düşey doğrularda B = 0 olabileceği için yalnızca y = mx + n biçimine bağlı kalmak doğru değildir. Bir noktanın doğru üzerinde olup olmadığını anlamak için noktanın koordinatları denklemde yerine yazılır; eşitlik sağlanıyorsa nokta doğru üzerindedir.

Paralel ve dik doğrular

Aynı düzlemdeki iki farklı doğrunun eğimleri eşitse bu doğrular paraleldir. y = m1x + n1 ve y = m2x + n2 biçimindeki doğrular için m1 = m2 koşulu paralelliği gösterir; sabit terimler farklıysa doğrular çakışmaz. Örneğin y = 3x + 1 ve y = 3x - 4 doğruları paraleldir.

Düşey olmayan iki doğrunun dik olması için eğimlerin çarpımı -1 olmalıdır: m1 · m2 = -1. Bunun nedeni, dik doğruların yön değişimlerinin birbirinin negatif karşılıklısı olmasıdır. Örneğin eğimi 2 olan bir doğruya dik doğrunun eğimi -1/2’dir. Bir doğru düşeyse ona dik doğru yataydır; yatay doğrunun eğimi 0, düşey doğrunun denklemi ise x = sabit biçimindedir. Soruda paralel veya diklik isteniyorsa önce doğruların eğimlerini karşılaştırmak, ardından gerekirse verilen noktadan geçen doğru denklemini kurmak en kısa yoldur.

Bir noktanın doğruya uzaklığı

P(x0, y0) noktasının Ax + By + C = 0 doğrusuna uzaklığı, noktadan doğruya indirilen dikmenin uzunluğudur. Bu uzunluk, noktanın koordinatlarının doğru denklemindeki ifadesinin mutlak değeri ile doğrunun katsayılarının kareleri toplamının kareköküne bölünerek bulunur:

d = |Ax0 + By0 + C|/√(A^2 + B^2)

Mutlak değer kullanılmasının nedeni uzaklığın negatif olamamasıdır. Noktanın doğru üzerinde olması durumunda pay sıfır olur ve uzaklık da sıfır çıkar. Örneğin P(1, 2) noktasının 3x + 4y - 10 = 0 doğrusuna uzaklığı d = |3·1 + 4·2 - 10|/√(3^2 + 4^2) = 1/5 birimdir. Uygulamada önce doğru denklemini Ax + By + C = 0 biçimine getirmek, sonra noktanın koordinatlarını doğrudan yerine yazmak gerekir. Bu yöntem, çizim ölçeğinden bağımsız olarak dik uzaklığı verir.

Çemberin temel denklemi ve geometrik yorumu

Merkezi M(h, k) ve yarıçapı r olan çember, merkezine uzaklığı r olan noktaların kümesidir. Çember üzerindeki herhangi bir P(x, y) noktası için PM uzaklığı r olduğundan uzaklık formülü kullanılır. Karekökten kurtarıldığında çemberin temel denklemi elde edilir:

(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

Bu denklemde (h, k) merkezdir ve r yarıçaptır. Merkez koordinatları parantez içinde ters işaretle görünür: (x - 3)^2 ifadesi merkezin x koordinatının 3, (y + 2)^2 ifadesi ise merkezin y koordinatının -2 olduğunu gösterir. Bunun nedeni, noktanın merkezden yatay ve düşey uzaklıklarının sırasıyla x - h ve y - k olmasıdır.

Örneğin merkezi (2, -1), yarıçapı 3 olan çemberin denklemi (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9’dur. Denklemi verilen bir çemberin merkezini ve yarıçapını bulmak için ifadeleri tam kare biçiminde okumak gerekir. Merkez başlangıç noktasıysa denklem x^2 + y^2 = r^2 olur. Örneğin x^2 + y^2 = 25 çemberinin merkezi (0, 0), yarıçapı 5’tir.

Bir noktanın çember üzerinde olup olmadığını kontrol etmek için koordinatları denklemde yerine yazılır. Eşitlik sağlanıyorsa nokta çember üzerindedir; sol taraf r^2’den küçükse nokta çemberin içinde, büyükse dışındadır. Bu yorum, yalnızca denklemi kurmayı değil, verilen noktanın çembere göre konumunu belirlemeyi de sağlar. Çemberin çevresi ve alanı gibi temel ölçülerde yarıçap kullanılır; çevre 2πr, alan πr^2 bağıntılarıyla ifade edilir.

Doğru ile çemberin kesişimi

Bir doğrunun bir çemberle kesişim noktalarını bulmak için iki denklemin ortak olarak sağlandığı koordinatlar aranır. Bunun için doğru denklemi çember denkleminde yerine yazılır. Böylece tek değişkenli ikinci dereceden bir denklem oluşur; bu denklemin gerçek çözümleri kesişim noktalarının ilgili koordinatlarını verir.

Örneğin x^2 + y^2 = 25 çemberi ile y = 3 doğrusu ele alınsın. Doğru çember denkleminde yerine yazılırsa x^2 + 3^2 = 25, buradan x^2 = 16 ve x = 4 veya x = -4 bulunur. Kesişim noktaları (4, 3) ve (-4, 3)’tür. İki farklı gerçek çözüm iki kesişim noktasını gösterir. Tek gerçek çözüm, doğrunun çembere tek noktada değdiği duruma; gerçek çözüm bulunmaması ise doğrunun çemberi kesmediği duruma karşılık gelir.

Kesişim hesabına başlamadan önce doğruyu mümkünse y = ... biçiminde yalnız bırakmak işlemi kolaylaştırır. Ancak doğru düşeyse x sabit olduğundan bu sabit değer doğrudan çember denkleminde yerine yazılır. Teğetlik sorularında tek kesişim koşulu, elde edilen ikinci dereceden denklemin tek gerçek köke sahip olmasıyla veya doğrunun merkezine olan uzaklığının yarıçapa eşit olmasıyla ifade edilebilir. Çemberin merkezini ve yarıçapını okuyup doğruya uzaklık formülünü kullanmak, bazı sorularda yerine koyma işleminden daha hızlıdır.