AYT Diziler: Genel Terim, Aritmetik ve Geometrik Dizi Formülleri

Dizi, indis, terim ve genel terim

Dizi, sayıların belirli bir sıraya göre oluşturduğu düzenli listedir. Matematiksel olarak dizi, tanım kümesi sayma sayılarının bir alt kümesi olan bir fonksiyon gibi düşünülebilir. Listedeki her sayı bir terimdir; terimin listedeki konumunu gösteren n sayısına ise indis denir. n’inci sıradaki terim a_n biçiminde yazılır. Burada a, diziyi; n ise terimin sırasını belirtir. Örneğin (3, 6, 9, 12, ...) dizisinde a_1 = 3, a_2 = 6 ve a_4 = 12’dir. Üç nokta, listenin aynı kuralla devam ettiğini gösterir. Tanım kümesi sonlu sayıda indisle sınırlıysa sonlu dizi, devam eden tüm sayma indislerini kapsıyorsa sonsuz dizi denir.

Bir dizinin terimlerini tek tek yazmak yerine, her indiste hangi değerin alınacağını belirleyen bir kural kullanılabilir. Bu kurala genel terim ya da açık formül denir. Genel terim a_n biçiminde yazılır ve n yerine istenen terimin indisi konularak hesap yapılır. Örneğin a_n = 2^n dizisinde a_1 = 2, a_2 = 4 ve a_5 = 32 olur. Böylece beşinci terime ulaşmak için önceki bütün terimleri yazmaya gerek kalmaz. Genel terim, terimin değerini doğrudan konumuna bağlar; indis değiştiğinde terim de bu kurala göre değişir.

Dizi, fonksiyon fikrine benzese de gösterimde genellikle f(n) yerine a_n kullanılır. Bir dizinin özyinelemeli gösteriminde her terim önceki terimlerden yararlanılarak tanımlanır; bu gösterimin çözüm yöntemleri ayrı bir konudur.

Bir dizinin terimlerini ve genel terimini bulma

Genel terim verildiğinde belirli bir terimi bulmak için indisin yerine yazılması yeterlidir. Örneğin a_n = 4n - 1 ise a_7 = 4·7 - 1 = 27 olur. İlk terimleri verilen bir dizide genel terimi bulmak için önce terimler arasındaki örüntü incelenir. 5, 8, 11, 14, ... dizisinde ardışık terimler arasındaki fark 3’tür; bu nedenle bu dizi aritmetik yapıdadır ve ilk terimden başlayarak her adımda bir tane 3 eklenir. Bu durumda n’inci terim a_n = 5 + (n - 1)·3 biçiminde yazılır.

Genel terimde n yerine 1 yazıldığında ilk terim elde edilmelidir. Bu kontrol, formülün başlangıç terimiyle uyumlu olup olmadığını gösterir. Ayrıca istenen terimin sırası ile terimin değeri karıştırılmamalıdır: a_10, onuncu terimin değerini; 10 ise yalnızca o terimin indisini ifade eder. Terimler bir örüntüyle verilmişse farkların sabit olup olmadığı, sabit değilse ardışık oranların aynı olup olmadığı incelenerek uygun dizi türüne geçilir.

Aritmetik diziler

Ardışık iki terim arasındaki fark sabitse bu diziye aritmetik dizi denir. Sabit farka ortak fark adı verilir ve d ile gösterilir. Bir terimden sonraki terime geçmek için her adımda aynı d değeri eklenir: a_{n+1} = a_n + d. Bu nedenle birinci terimden n’inci terime ulaşırken d, toplam n - 1 kez eklenir. Aritmetik dizinin genel terimi bu mekanizmayı gösterir:

a_n = a_1 + (n - 1)d

Örneğin 7, 11, 15, 19, ... dizisinde a_1 = 7 ve d = 4’tür. Beşinci terim a_5 = 7 + 4·4 = 23 olur. Aynı dizide a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = 4’tür. Fark negatif de olabilir; 20, 17, 14, 11, ... dizisinde ortak fark -3’tür ve dizi her adımda azalır.

Aritmetik dizilerde herhangi bir terim, komşu terimlerden ortak fark kadar uzaktadır. Bu yüzden a_{n+1} - a_n = d bağıntısı kullanılabilir. Eşit aralıklı indisler arasındaki terimler de aynı doğrusal artış düzenini izler. Örneğin üç ardışık terim a, b, c ise b - a = c - b olur; buradan 2b = a + c sonucu çıkar. Yani ortadaki terim, iki yanındaki terimin aritmetik ortalamasıdır. Bu özellik, soruda bazı terimler verilip eksik terim istendiğinde genel terim yazmadan da kullanılabilir.

Bir aritmetik dizide iki farklı terim biliniyorsa ortak fark, aralarındaki indis farkına göre bulunabilir. a_p = a_1 + (p - 1)d ve a_q = a_1 + (q - 1)d yazılıp iki eşitlik çıkarıldığında a_q - a_p = (q - p)d elde edilir. Böylece terimler arasındaki değer farkı, sıra farkına bölünerek d bulunur.

Geometrik diziler

Ardışık iki terim arasındaki oran sabitse bu diziye geometrik dizi denir. Sıfır olmayan bir önceki terime geçişte kullanılan sabit orana ortak çarpan ya da ortak oran adı verilir ve r ile gösterilir. Bir terimden sonraki terime geçmek için her adımda aynı r ile çarpılır: a_{n+1} = a_n·r. Birinci terimden n’inci terime ulaşırken r, n - 1 kez çarpıldığı için genel terim şu şekilde yazılır:

a_n = a_1·r^(n - 1)

Örneğin 3, 6, 12, 24, ... dizisinde a_1 = 3 ve r = 2’dir. Dördüncü terim a_4 = 3·2^3 = 24 olur. Azalan bir geometrik dizide oran 1’den küçük olabilir; 80, 40, 20, 10, ... dizisinde ortak oran r = 1/2’dir. Oran negatif olduğunda terimlerin işareti değişebilir: 5, -10, 20, -40, ... dizisinde r = -2’dir.

Geometrik dizide ardışık terimlerin oranı sabittir: a_{n+1}/a_n = r. Üç ardışık terim a, b, c ve ilgili terimler sıfır değilse b/a = c/b olur; buradan b^2 = ac elde edilir. Bu, ortadaki terimin karesinin yanındaki iki terimin çarpımına eşit olduğunu gösterir. Örneğin 4, 12, 36 dizisinde 12^2 = 4·36’dır. Soruda ardışık terimler veya belirli indislerdeki terimler verildiğinde bu oran ilişkisi, bilinmeyen terimi bulmak için kullanılabilir.

İki terim arasındaki indis sayısı birden fazla olduğunda değerlerin oranı, ortak oranın uygun kuvvetini verir. a_q = a_p·r^(q - p) bağıntısı bu ilişkiyi doğrudan ifade eder. Örneğin a_3 = 4 ve r = 3 ise a_6 = 4·3^3 olarak bulunur.

Dizi terimlerinin toplamı

İlk n terimin toplamı, terimleri tek tek toplamak yerine dizi türüne uygun bağıntıyla bulunur. Aritmetik dizide ilk ve son terim eşleştirilir. İlk terim a_1, n’inci terim a_n ve ortak fark d ise toplam formülleri şöyledir:

S_n = n(a_1 + a_n)/2 S_n = n(2a_1 + (n - 1)d)/2

İlk formül son terim bilindiğinde, ikinci formül ise ortak fark ve ilk terim bilindiğinde kullanışlıdır. Örneğin 4, 7, 10, 13, 16 dizisinin toplamında n = 5, a_1 = 4 ve a_5 = 16 olduğundan S_5 = 5(4 + 16)/2 = 50 olur.

Geometrik dizide ilk n terimin toplamı, ortak oran r ≠ 1 olmak üzere şu bağıntıyla hesaplanır:

S_n = a_1(r^n - 1)/(r - 1)

Aynı formül S_n = a_1(1 - r^n)/(1 - r) biçiminde de yazılabilir. r = 1 ise bütün terimler a_1’e eşit olduğundan S_n = n·a_1 olur. Örneğin 2, 6, 18, 54 dizisinin ilk dört teriminde a_1 = 2 ve r = 3’tür; toplam S_4 = 2(3^4 - 1)/(3 - 1) = 80 bulunur.

Dizi sorularında verilen bilgiler arasındaki ilişkileri kullanma

Dizi sorularında verilen her bilgi, bir terim, indis, fark, oran veya toplam bağıntısına dönüştürülmelidir. Önce sorudaki dizinin aritmetik mi geometrik mi olduğu belirlenir. Aritmetik dizide a_q - a_p = (q - p)d, geometrik dizide ise a_q = a_p·r^(q - p) bağıntıları farklı indislerdeki terimleri ilişkilendirir. Birkaç terim verildiğinde bilinmeyenleri a_1, d veya r olarak tanımlayıp bu bağıntılardan bir denklem kurulabilir.

Örneğin bir aritmetik dizide a_4 = 11 ve a_9 = 26 verilirse, terimler arasındaki fark 5d olduğundan 26 - 11 = (9 - 4)d yazılır ve d = 3 bulunur. Ardından a_4 = a_1 + 3d eşitliğinden a_1 = 2 elde edilir. Böylece istenen başka bir terim genel terimle, ilk n terim toplamı ise toplam formülüyle bulunabilir.

Geometrik dizide a_2 = 6 ve a_5 = 162 ise a_5 = a_2·r^3 bağıntısı kurulur. Buradan 162 = 6r^3, yani r^3 = 27 ve r = 3 elde edilir. Soruda toplam isteniyorsa önce gerekli ilk terim ve oran bulunur, sonra geometrik toplam formülüne geçilir. Sonuçta formül seçimi, dizinin türünü ve verilen bilgilerin hangi indisler arasında bulunduğunu doğru okumaya bağlıdır.