AYT Trigonometri: Temel Kavramlar, Denklemler ve Grafikler

Açı ölçüleri, birim çember ve trigonometrik fonksiyonların işaretleri

Bir açı derece veya radyan cinsinden ölçülebilir. Tam açı 360° ve 2π radyandır; dolayısıyla 180° = π radyan bağıntısı kullanılır. Dereceden radyana geçerken açı π/180 ile, radyandan dereceye geçerken 180/π ile çarpılır. Örneğin 60° = 60π/180 = π/3 radyandır. Aynı yönü gösteren açılar arasında 360° veya 2π fark bulunur; bu nedenle 30°, 390° ve -330° aynı yönlü açılardır.

Birim çember, merkezi orijin ve yarıçapı 1 olan çemberdir. Bir açı başlangıçta pozitif x ekseninden ölçülüp çember üzerinde bir noktaya ulaştığında, bu noktanın koordinatları (cos x, sin x) olur. Böylece kosinüs x koordinatını, sinüs y koordinatını temsil eder. Tanjant, sinüsün kosinüse oranı olduğu için cos x = 0 olduğunda tanjant tanımsızdır; kotanjant da sinüs sıfır olduğunda tanımsız olur.

İşaretler, birim çemberdeki koordinatların ve oranların işaretlerinden belirlenir. I. bölgede sinüs ve kosinüs pozitiftir; bu yüzden tanjant ve kotanjant da pozitiftir. II. bölgede sinüs pozitif, kosinüs negatiftir; tanjant ve kotanjant negatiftir. III. bölgede sinüs ve kosinüs negatif olduğundan tanjant ve kotanjant pozitiftir. IV. bölgede sinüs negatif, kosinüs pozitif olduğundan tanjant ve kotanjant negatiftir. Örneğin 150° = 180° - 30° olduğundan II. bölgededir; sin 150° pozitif, cos 150° negatif, tan 150° negatiftir.

Bir açı eksenler üzerinde bulunuyorsa işaret kontrolü ayrıca yapılmalıdır. Örneğin 180° için sinüs 0, kosinüs -1 ve tanjant 0'dır; 90° için sinüs 1, kosinüs 0 olduğu için tanjant tanımsızdır. Bu kontrol, özellikle denklem çözerken tanımsız değerleri yanlışlıkla çözüm kabul etmeyi önler.

Trigonometrik oranlar ve fonksiyonlar

Dik üçgende seçilen dar açıya göre sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant kenar oranlarıyla tanımlanır. Karşı kenar açının karşısındaki, komşu kenar açıya temas eden dik olmayan kenar, hipotenüs ise dik açının karşısındaki en uzun kenardır. Buna göre sin x = karşı kenar / hipotenüs, cos x = komşu kenar / hipotenüs, tan x = karşı kenar / komşu kenar ve cot x = komşu kenar / karşı kenar biçimindedir.

Aynı oranlar birim çember üzerinde tüm yönlü açılar için anlam kazanır. Birim çemberde noktanın koordinatları (cos x, sin x) olduğundan tanjant sin x / cos x, kotanjant ise cos x / sin x olarak yazılır. Dik üçgende oranlar kenar uzunluklarıyla, birim çemberde ise koordinatlarla ifade edilse de iki tanım aynı ilişkiyi sürdürür. Örneğin 3-4-5 dik üçgeninde, karşı kenarı 3 ve komşu kenarı 4 olan açı için sin x = 3/5, cos x = 4/5, tan x = 3/4 ve cot x = 4/3 olur.

Bir fonksiyonun değerini bulurken önce açının hangi açıya göre tanımlandığını belirlemek gerekir. Aynı üçgenin iki dar açısı için karşı ve komşu kenarların rolleri değişir; bu nedenle bir açı için sinüs olan oran, diğer açı için kosinüs olabilir. Ayrıca tanjant ve kotanjant birbirinin çarpmaya göre tersidir. Uygulamalı bir soruda, örneğin bir gözlemcinin yatay uzaklığı ve yükselme açısı biliniyorsa, oluşan dik üçgende bilinmeyen yüksekliğin bilinen kenara oranını veren fonksiyon seçilir. Böylece yükseklik, ölçülen uzaklık ve açı arasındaki ilişki kurulabilir.

Özel açı değerleri

AYT sorularında 0°, 30°, 45°, 60° ve 90° açıları ile bunların radyan karşılıkları sık kullanılır. Temel değerler şöyledir: sin 0° = 0, cos 0° = 1; sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2; sin 45° = √2/2, cos 45° = √2/2; sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2; sin 90° = 1, cos 90° = 0. Tanjant ve kotanjant, sinüsün kosinüse ve kosinüsün sinüse bölünmesiyle bulunur: tan 30° = √3/3, tan 45° = 1, tan 60° = √3; cot 30° = √3, cot 45° = 1, cot 60° = √3/3. 90° için tanjant tanımsız, 0° için kotanjant tanımsızdır.

Bu değerler II, III ve IV. bölgelerde referans açı kullanılarak işaretlendirilir. Örneğin cos 150° = -cos 30° = -√3/2 ve sin 210° = -sin 30° = -1/2 olur. Açı radyan verilmişse önce tanıdık değere dönüştürmek gerekir; π/6 = 30°, π/4 = 45° ve π/3 = 60°'dir.

Trigonometrik özdeşlikler ve ifadelerin sadeleştirilmesi

Özdeşlik, tanım kümesindeki uygun tüm değerler için doğru olan trigonometrik eşitliktir. Denklemden farklı olarak yalnızca bazı x değerlerinde değil, ifadenin tanımlı olduğu her değerde geçerlidir. Temel özdeşlikler, farklı fonksiyonları aynı yapıya dönüştürerek sadeleştirme ve denklem çözme işlemlerini kolaylaştırır:

sin²x + cos²x = 1 1 + tan²x = sec²x 1 + cot²x = csc²x tan x = sin x / cos x cot x = cos x / sin x

AYT sorularında genellikle ifadeyi ortak bir dile çevirmek gerekir. Tanjant ve kotanjant içeren bir ifade sinüs-kosinüs cinsinden yazılabilir; ardından sin²x + cos²x = 1 kullanılarak sadeleştirme yapılır. Örneğin cos x ≠ 0 ve sin x ≠ 0 için (1 - cos²x) / sin x ifadesinde 1 - cos²x yerine sin²x yazılır. Sonuç sin²x / sin x = sin x olur. Burada sadeleştirme yapılırken paydanın sıfır olamayacağı koşul gözden kaçırılmamalıdır.

Özdeşlik doğrularken iki tarafı rastgele birbirine eşitlemek yerine genellikle daha karmaşık taraf, diğer tarafın biçimine dönüştürülür. Çarpanlara ayırma, ortak payda bulma ve kare açılımı gibi cebirsel işlemler bu dönüşümde kullanılabilir. Örneğin (sin x + cos x)² açıldığında sin²x + 2sin x cos x + cos²x elde edilir; temel özdeşlik uygulanınca ifade 1 + 2sin x cos x biçimine iner.

Tek ve çift fonksiyon özellikleri de sadeleştirmede kullanılır: sin(-x) = -sin x, tan(-x) = -tan x, cot(-x) = -cot x ve cos(-x) = cos x. Bu nedenle kosinüs çift, sinüs ve tanjant tek fonksiyondur. Toplam-fark ve iki kat açı bağıntıları, burada yalnızca gerektiğinde kullanılan dönüşüm araçlarıdır; ayrıntılı bağıntılar ilgili konu başlığında ele alınır. İleri düzey trigonometrik ispatlar ve karmaşık özdeşlik dönüşümleri ayrı bir makalenin konusudur.

Trigonometrik denklemler

Trigonometrik denklem, içinde sinüs, kosinüs veya başka bir trigonometrik fonksiyon bulunan ve belirli x değerleri için doğru olan eşitliktir. Çözüm yönteminde önce fonksiyon mümkün olduğunca yalnız bırakılır, ardından birim çemberde bu değeri veren açılar belirlenir. Sonuçlar istenen aralıkla sınırlandırılır; genel çözüm istenirse aynı yönlü açıları veren periyodik biçim yazılır.

Temel denklemler için genel çözümler şöyledir: sin x = sin a için x = a + 2kπ veya x = π - a + 2kπ cos x = cos a için x = 2kπ ± a tan x = tan a için x = a + kπ Burada k tam sayıdır. Bu biçimler, radyan ölçüsüyle yazılmış genel çözümlerdir. Derece kullanılıyorsa π yerine 180° ve 2π yerine 360° düşünülür.

Örneğin 0 ≤ x < 2π aralığında sin x = 1/2 denklemini ele alalım. Birim çemberde sinüsün 1/2 olduğu referans açı π/6'dır ve sinüs I. ve II. bölgelerde pozitiftir. Bu nedenle çözümler x = π/6 ve x = 5π/6 olur. Aralık verilmemiş olsaydı genel çözüm x = π/6 + 2kπ veya x = 5π/6 + 2kπ şeklinde yazılırdı.

Denklem bir özdeşlik yardımıyla çarpanlara ayrılabiliyorsa her çarpan sıfıra eşitlenir. Örneğin 2sin²x - 1 = 0 denklemi sin²x = 1/2 ve dolayısıyla sin x = ±√2/2 biçimine gelir. Ardından dört bölgedeki işaretler kullanılarak aralıktaki tüm açılar yazılır. Payda içeren denklemlerde ise ilk adımdan önce paydanın sıfır olduğu değerler dışlanmalıdır; aksi hâlde tanımsız ifadeler yanlışlıkla çözüm listesine girebilir.

Grafiklerde periyot, simetri ve temel dönüşümler

Sinüs ve kosinüs grafiklerinde genlik, periyot, yatay öteleme ve düşey öteleme temel özelliklerdir. y = A sin(Bx + C) + D veya y = A cos(Bx + C) + D biçiminde A, orta çizgiden en büyük uzaklığı, yani genliği belirler; genlik |A| değeridir. B sıfırdan farklı olmak üzere periyot 2π/|B| olur. D grafiği düşeyde öteler; C ise yatay konumu etkiler. A negatif olduğunda grafik, y = D orta çizgisine göre yansır; D = 0 ise bu yansıma x eksenine göredir.

Örneğin y = 2sin(3x - π) + 1 için genlik 2, periyot 2π/3 ve orta çizgi y = 1'dir. İfade 3x - π = 3(x - π/3) biçimine getirildiğinde grafiğin yatayda π/3 kadar sağa ötelenmiş olduğu görülür. Bir sinüs grafiğini yorumlarken önce orta çizgi ve en büyük-en küçük değerler, ardından bir periyot uzunluğu ve başlangıç noktası belirlenir. Kosinüs grafiğinde başlangıç değeri genellikle daha kolay okunur; ancak aynı dönüşüm mantığı geçerlidir.

Sinüs tek fonksiyondur: sin(-x) = -sin x. Kosinüs çift fonksiyondur: cos(-x) = cos x. Her iki fonksiyon da 2π periyoduna sahiptir; yani sin(x + 2π) = sin x ve cos(x + 2π) = cos x. Tanjant ve kotanjantın temel periyodu π'dir. Bu özellikler, grafikte tekrar eden noktaları bulmayı ve bir aralıktaki kök ya da maksimum sayısını belirlemeyi sağlar.

Sinüs ve kosinüs teoremleriyle üçgen problemleri

Dik olmayan üçgenlerde yalnızca dik üçgen oranları yeterli olmayabilir. Sinüs teoremi, kenarların karşılarındaki açıların sinüsleriyle oranını eşitler: a/sin A = b/sin B = c/sin C. Bir kenar ve karşı açısı biliniyor, başka bir açı veya karşı kenar aranıyorsa bu teorem uygundur. Örneğin a, A açısının karşısındaki kenar ve b, B açısının karşısındaki kenar olmak üzere A, B ve a biliniyorsa b = a sin B / sin A yazılır.

Kosinüs teoremi, Pisagor bağıntısının dik olmayan üçgenlere genişletilmiş biçimidir: c² = a² + b² - 2ab cos C. İki kenar ve aralarındaki açı biliniyorsa üçüncü kenarı bulmak için doğrudan kullanılır. Üç kenar biliniyorsa cos C = (a² + b² - c²)/(2ab) biçimiyle açı hesaplanabilir. Örneğin iki kenarı 5 ve 7, aralarındaki açısı 60° olan bir üçgende üçüncü kenarın karesi 5² + 7² - 2·5·7·cos 60° olur; buradan kenar uzunluğu bulunur.

Yöntem seçerken verilenlerin karşılıklı olup olmadığına bakılmalıdır. Bir kenar-karşı açı çifti ve başka bir karşılıklı bilgi varsa sinüs teoremi; iki kenar ile aralarındaki açı veya üç kenar veriliyorsa kosinüs teoremi daha doğrudan yoldur. Soruda yükseklik oluşturulabiliyorsa üçgeni iki dik üçgene ayırmak da mümkündür; bu durumda uygun trigonometrik oran seçilir. Örneğin bir cismin yüksekliğini bulmak için yatay uzaklık ve yükselme açısı kullanılarak dik üçgen kurulabilir.