Trigonometrik Toplam-Fark Formülleri: Sinüs, Kosinüs ve Tanjant

Sinüsün toplam ve fark formülleri

Sinüsün toplam formülü, iki açının toplamının sinüsünü bu açıların sinüs ve kosinüs değerlerinin çarpımlarıyla ifade eder:

sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β

Fark formülünde ise aynı çarpımlar korunur, aradaki işaret eksi olur:

sin(α − β) = sin α · cos β − cos α · sin β

Formülü uygularken ilk açıya ait sinüsün ikinci açıya ait kosinüsle, ilk açıya ait kosinüsün ikinci açıya ait sinüsle eşleştirildiğine dikkat edilir. Toplamda bu iki çarpım toplanır; farkta ikinci çarpım çıkarılır. Yani sinüs için açının işareti, formüldeki iki çarpım arasındaki işarete doğrudan yansır.

Örneğin 75° açısını 45° + 30° biçiminde yazalım. Özel açı değerleri kullanılarak sin 75° = sin(45° + 30°) = sin 45° · cos 30° + cos 45° · sin 30° olur. Buradan sin 75° = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6 + √2)/4 bulunur.

Benzer şekilde 15° = 45° − 30° olduğundan sin 15° = sin 45° · cos 30° − cos 45° · sin 30° = (√6 − √2)/4 elde edilir. Böylece aynı temel açı çifti için toplamda artı, farkta eksi kullanıldığı görülür.

Kosinüsün toplam ve fark formülleri

Kosinüsün toplam formülü, kosinüs çarpımlarından sinüs çarpımının çıkarılmasıyla yazılır:

cos(α + β) = cos α · cos β − sin α · sin β

Kosinüsün fark formülünde ise iki çarpım arasındaki işaret artıya döner:

cos(α − β) = cos α · cos β + sin α · sin β

Buradaki en önemli nokta, kosinüste toplam ile fark işaretlerinin sinüsteki düzenin tersine işlemesidir. Her iki formülde de ilk çarpım kosinüslerin çarpımı, ikinci çarpım sinüslerin çarpımıdır. Toplam açıda bu ikinci çarpım çıkarılır; fark açıda eklenir. Bu nedenle cos(α + β) ifadesinde artı görmek beklenmez; formülün işareti eksidir.

Örnek olarak 75° = 45° + 30° yazılırsa cos 75° = cos 45° · cos 30° − sin 45° · sin 30° olur. Değerler yerine konulduğunda cos 75° = (√2/2)(√3/2) − (√2/2)(1/2) = (√6 − √2)/4 bulunur.

15° için açı fark biçimindedir: cos 15° = cos(45° − 30°) = cos 45° · cos 30° + sin 45° · sin 30° = (√6 + √2)/4. Bu örnek, sinüs ve kosinüs formüllerindeki işaretlerin aynı olmadığını açıkça gösterir.

Tanjantın toplam ve fark formülleri

Tanjantın toplam formülünde açıların tanjantları payda ve payda düzenine göre kullanılır:

tan(α + β) = (tan α + tan β) / (1 − tan α · tan β)

Fark formülü ise şöyledir:

tan(α − β) = (tan α − tan β) / (1 + tan α · tan β)

Toplamda payda tanjantların çarpımının 1 eksiği, farkta ise 1 artığıdır. Payda düzeni özellikle dikkat ister; yalnızca payda kısmındaki işaret değil, pay kısmındaki işlem de açının toplam veya fark olmasına göre değişir. Tanjant formülleri, sinüs ve kosinüsün toplam-fark ifadelerinin bölüm olarak düzenlenmesiyle elde edilen yapıyla uyumludur; bu yüzden payda kontrolü formülün ayrılmaz parçasıdır.

Örneğin 75° = 45° + 30° ve tan 45° = 1, tan 30° = 1/√3 olduğundan:

tan 75° = (1 + 1/√3) / (1 − 1/√3) = 2 + √3.

15° = 45° − 30° için fark formülü kullanılır:

tan 15° = (1 − 1/√3) / (1 + 1/√3) = 2 − √3.

Bu iki örnekte açılar aynı olsa da biri toplam, diğeri fark biçiminde yazıldığı için hem paydaki hem de paydadaki işaretler değişmiştir. Bir açının tanjantı tanımsızsa ilgili tanjant toplam-fark formülü doğrudan kullanılamaz.

Formüllerde işaret düzeni ve uygulanma koşulları

Üç temel fonksiyonun işaret düzeni birlikte şöyle karşılaştırılır: sinüs için toplamda artı, farkta eksi kullanılır; kosinüs için toplamda eksi, farkta artı kullanılır; tanjantta ise toplam formülünde payda 1 − tan α · tan β, fark formülünde payda 1 + tan α · tan β biçimindedir. Kısa bir hatırlatma olarak sinüsün işareti açıdaki işaretle aynı yönde ilerlerken kosinüsün ikinci çarpımındaki işaret ters yöndedir. Tanjantta hem pay hem payda ayrı ayrı kontrol edilmelidir.

Sinüs ve kosinüs toplam-fark formülleri, ilgili açıların trigonometrik değerleri tanımlı olduğu sürece kullanılabilir. Tanjant formülünde ise tan α ve tan β değerlerinin kendilerinin tanımlı olması gerekir. Ayrıca toplam için 1 − tan α · tan β ifadesi sıfır olmamalı, fark için 1 + tan α · tan β ifadesi sıfır olmamalıdır; aksi durumda formülün paydası sıfır olur ve tanjant değeri tanımsız hale gelir.

Örneğin tan α · tan β = 1 ise tan(α + β) formülünün paydası sıfır olur. Bu durumda toplam açının tanjantı sonlu bir sayı olarak hesaplanamaz. Benzer biçimde tan α · tan β = −1 olduğunda tan(α − β) için payda sıfırdır. Bu koşulları işlem sonunda değil, formülü kurarken kontrol etmek hata riskini azaltır.

Açıları toplam veya fark biçiminde ifade etme

Toplam-fark formüllerini kullanabilmek için verilen açıyı, trigonometrik değerleri bilinen iki açının toplamı veya farkı biçiminde yazmak gerekir. Bunun için hedef açıya eşit bir ayrıştırma seçilir; örneğin 75° = 45° + 30°, 15° = 45° − 30° ve 105° = 60° + 45° biçimlerinde ifade edilebilir. Seçilen açıların özel değerleri biliniyorsa formüldeki sinüs, kosinüs veya tanjant değerleri yerine konabilir.

Ayrıştırmada sıra ve işlem türü önemlidir. 15° açısını 45° − 30° olarak yazarsanız, değerleri bilinen açılarla fark formülünü kullanabilirsiniz; 30° − 15° gibi bir ayrıştırma ise yine 15° değerlerini gerektirdiği için sonuca götürmez; bu nedenle seçilen eşitliği baştan açıkça yazmak gerekir. Ardından fonksiyonun formülü seçilir: sinüs için sinüs-kosinüs çarpımları, kosinüs için kosinüs-kosinüs ve sinüs-sinüs çarpımları, tanjant için ise tanjantların pay ve paydadaki düzeni kullanılır.

Özel açıların sinüs, kosinüs ve tanjant değerleri, toplam-fark hesaplarında başlangıç değerleri olarak kullanılır. Örneğin 75° gibi standart tabloda doğrudan bulunmayan bir açı, 45° ve 30° kullanılarak hesaplanabilir.

Toplam-fark formülleriyle açı değeri hesaplanırken önce açı ayrıştırılır, sonra uygun formül yazılır ve bilinen değerler yerine konur. Son adımda köklü ifadeler veya kesirler sadeleştirilir.