Fonksiyonlarda Dört İşlem ve Tanım Kümeleri
İki fonksiyon üzerinde toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri, aynı x değerindeki çıktıların ilgili işlemden geçirilmesiyle oluşturulur. İşlem fonksiyonlarının tanım kümesi, özellikle bölmede paydanın sıfır olmaması koşuluyla belirlenir. Ayrıca iki işlem fonksiyonunun eşitliği için hem tanım kümeleri hem de bu kümelerdeki değerleri aynı olmalıdır.
Bu yazıda (7)
f ve g gibi iki fonksiyonla işlem yapılırken aynı x girdisi için elde edilen f(x) ve g(x) değerleri kullanılır. Toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerinde iki fonksiyonun ortak tanım kümesi esas alınır; bölmede buna ek olarak paydanın sıfır olmaması gerekir. Bileşke ve ters fonksiyon işlemleri ise ayrı konuların kapsamındadır.
Fonksiyonlarda toplama, çıkarma, çarpma ve bölme
Tanım kümeleri üzerinde işlem yapılabilen f ve g fonksiyonları için dört işlem, aynı x değerine karşılık gelen çıktıların aritmetik olarak birleştirilmesiyle tanımlanır. Toplama işleminde f(x) ile g(x) toplanır; çıkarma işleminde f(x) değerinden g(x) çıkarılır. Çarpma işleminde iki çıktı çarpılır. Bölme işleminde ise f(x), g(x) değerine bölünür ve bu işlem yalnızca g(x) sıfır değilse yapılabilir.
Örneğin f(x) = 2x + 1 ve g(x) = x - 3 olsun. Aynı x girdisi için f(x) ve g(x) değerleri hesaplanır. Böylece (f + g)(x) = (2x + 1) + (x - 3) = 3x - 2, (f - g)(x) = (2x + 1) - (x - 3) = x + 4 ve (f · g)(x) = (2x + 1)(x - 3) elde edilir. Bölme işlemi ise (f/g)(x) = (2x + 1)/(x - 3) biçimindedir; x = 3 için g(x) = 0 olduğundan bu değer bölme işleminde kullanılamaz.
Buradaki temel mekanizma, iki fonksiyonun aynı girdide ürettiği sayıların tek bir çıktı oluşturacak şekilde işleme sokulmasıdır. Örneğin x = 5 için f(5) = 11 ve g(5) = 2 bulunur. Bu durumda toplam 13, fark 9, çarpım 22 ve bölüm 11/2 olur. Ancak belirli bir x değerinin kullanılabilir olup olmadığı, ilgili işlem fonksiyonunun tanım kümesi koşullarıyla birlikte değerlendirilmelidir.
İşlem fonksiyonlarının cebirsel gösterimi
Bir fonksiyonun aldığı girdiyi ve ürettiği çıktıyı göstermek için f(x) ve g(x) yazımları kullanılır. İşlem sonucunda yeni fonksiyonlar (f + g)(x), (f - g)(x), (f · g)(x) ve (f/g)(x) biçiminde gösterilir. Parantez içindeki x, fonksiyona verilen girdidir; çarpma işareti değildir. Cebirsel ifadeler önce f(x) ve g(x) yerine yazılır, ardından gerekli işlem ve sadeleştirme yapılır.
Örneğin f(x) = x + 2 ve g(x) = 3x için (f - g)(x) = (x + 2) - 3x = 2 - 2x yazılır. Bu gösterim, yeni fonksiyonun her x değerinde hangi çıktı verdiğini açıkça belirtir. Bölme işleminde (f/g)(x) = f(x)/g(x) yazılırken, ayrıca g(x) ≠ 0 koşulu da belirtilmelidir.
İşlem fonksiyonlarının tanım kümesi
Bir fonksiyonun tanım kümesi, fonksiyona girdi olarak verilebilen x değerlerinin kümesidir. İşlem fonksiyonunun tanım kümesi belirlenirken önce f ve g fonksiyonlarının ayrı ayrı tanımlı olduğu x değerleri dikkate alınır. Toplama, çıkarma ve çarpma için x, iki fonksiyonun da tanım kümesinde bulunmalıdır. Bölmede ise bu ortak koşula ek olarak g(x) değerinin sıfır olmaması gerekir.
Örneğin f(x) = √(x - 1) ve g(x) = x + 2 olsun. f fonksiyonunun tanımlı olması için x - 1 ≥ 0, yani x ≥ 1 olmalıdır. g fonksiyonu bütün gerçek sayılarda tanımlıdır. Bu nedenle f + g, f - g ve f · g işlemlerinin tanım kümesi [1, ∞) olur. Bölme işleminde g(x) = x + 2 ifadesi x ≥ 1 için hiçbir zaman sıfır olmadığı için (f/g)(x) için de tanım kümesi [1, ∞) olarak kalır.
Başka bir örnekte f(x) = 1/(x - 2) ve g(x) = √(x + 1) alınsın. f için x ≠ 2, g için x ≥ -1 koşulu vardır. Bu iki fonksiyonla yapılan toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerinin tanım kümesi [-1, ∞) içinden 2 çıkarılarak elde edilir; yani [-1, 2) ∪ (2, ∞) olur. Çünkü x = 2 değerinde f(x) tanımsızdır.
Bir ifadeyi sadeleştirmek, başlangıçta ortaya çıkan tanım kümesi kısıtlarını kendiliğinden ortadan kaldırmaz. Örneğin (x² - 4)/(x - 2) ifadesi x ≠ 2 koşuluyla x + 2 biçimine sadeleşir. İşlem fonksiyonunun tanım kümesi belirlenirken sadeleştirilmiş ifadeye değil, ilk ifadede geçerli olan kısıta da bakılır.
Dört işlemde ortak tanım kümesi koşulu
Toplama, çıkarma ve çarpma işlem fonksiyonlarında kullanılabilecek bir x değeri, hem f fonksiyonunu hem de g fonksiyonunu tanımlı kılmalıdır. Bu nedenle bu üç işlem için tanım kümeleri f ve g’nin tanım kümelerinin kesişimidir. Kesişim, iki kümede birden bulunan değerlerden oluşur; yalnızca bir fonksiyonda bulunan x değerleri işlem fonksiyonuna alınamaz.
Bu koşulun nedeni, işlem yapılabilmesi için aynı girdide iki çıktının da elde edilmesi gereğidir. f, belirli bir x değerinde tanımsızsa f(x) hesaplanamaz; g tanımsızsa da f(x) ile g(x) arasında toplama, çıkarma veya çarpma yapılamaz. Örneğin f’nin tanım kümesi [0, ∞), g’nin tanım kümesi (-∞, 4] ise üç işlemin ortak tanım kümesi [0, 4] olur.
Somut olarak f(x) = √x ve g(x) = 1/(x - 3) seçilsin. f için x ≥ 0, g için x ≠ 3 koşulu vardır. Bu nedenle f + g, f - g ve f · g için tanım kümesi [0, ∞) kümesinden 3 çıkarılarak [0, 3) ∪ (3, ∞) elde edilir. x = 3 değeri f için uygun olsa bile g(3) tanımsız olduğu için ortak kümede yer alamaz.
Bölme işleminde paydanın sıfır olmaması
Bölme işleminde (f/g)(x) = f(x)/g(x) tanımının geçerli olabilmesi için g(x) ≠ 0 olmalıdır. Bu, f ve g’nin ortak tanım kümesine eklenen özel bir koşuldur. Önce iki fonksiyonun da tanımlı olduğu x değerleri bulunur, ardından g(x) = 0 yapan değerler bu kümeden çıkarılır.
Bunun nedeni, sıfıra bölmenin tanımlı olmamasıdır. Örneğin f(x) = x² - 1 ve g(x) = x - 1 ise başlangıçta her iki ifade de bütün gerçek sayılarda tanımlıdır. Ancak bölüm için x - 1 ≠ 0, yani x ≠ 1 koşulu gerekir. Bu nedenle (f/g)(x) = (x² - 1)/(x - 1) ifadesinin işlem fonksiyonu olarak tanım kümesi R \ {1} olur. İfade x ≠ 1 koşuluyla x + 1 şeklinde sadeleşse de x = 1 başlangıçta paydanın sıfır olduğu değer olduğu için geri eklenemez.
Paydanın sıfır olduğu değer, payın da sıfır olup olmamasından bağımsız olarak çıkarılır. Örneğin f(x) = x - 1 ve g(x) = x - 1 için bölüm ifadesi sadeleştirme sonrasında 1’e benzese bile x = 1’deki bölme işlemi tanımsızdır. Dolayısıyla bölüm fonksiyonunun tanım kümesi R \ {1} olur.
İşlem fonksiyonlarının eşitliği
İki işlem fonksiyonunun eşit kabul edilmesi için aynı tanım kümesine sahip olmaları ve bu tanım kümesindeki her x değeri için aynı çıktıyı vermeleri gerekir. Yalnızca cebirsel ifadelerin aynı görünüme gelmesi yeterli değildir; tanım kümesi de eşitliğin bir parçasıdır.
Örneğin (x² - 1)/(x - 1) işlem fonksiyonu, tanım kümesi R \ {1} olmak üzere x + 1 ile aynı değerleri verir. Fakat tanım kümesi bütün gerçek sayılar olan h(x) = x + 1 fonksiyonu ile aynı fonksiyon değildir. Çünkü h(1) tanımlıyken bölüm işleminde x = 1 kullanılamaz. Buna karşılık iki ifade aynı kısıtlı tanım kümesi üzerinde aynı değeri veriyorsa aynı işlem fonksiyonunu temsil eder.
İşlem fonksiyonunda belirli bir x değerinin hesaplanması
Belirli bir x değerinde işlem fonksiyonunu bulmak için önce bu x’in işlem fonksiyonunun tanım kümesinde olup olmadığı kontrol edilir. Ardından f(x) ve g(x) hesaplanarak seçilen dört işlem uygulanır. Bölmede ayrıca paydanın sıfır olmaması gerekir.
(f + g)(x) = f(x) + g(x) (f - g)(x) = f(x) - g(x) (f · g)(x) = f(x) · g(x) (f/g)(x) = f(x)/g(x), g(x) ≠ 0 D(f + g) = D(f - g) = D(f · g) = D(f) ∩ D(g) D(f/g) = {x ∈ D(f) ∩ D(g) | g(x) ≠ 0}
Bir ürünün toplam maliyeti, sabit ücret ile ürün başına ücretin fonksiyonlarının toplanmasıyla modellenebilir. İki mağazadaki fiyat farkı çıkarma, toplam ürün maliyeti çarpma; bir toplamın kişi sayısına paylaştırılması ise paydanın sıfır olmaması koşuluyla bölme işlemi olarak ifade edilebilir.
Bölme işleminde yalnızca f ve g’nin tanım kümelerinin kesişimini almak yeterli değildir; g(x) = 0 yapan değerler de çıkarılmalıdır. Ayrıca sadeleştirme sonrasında ortadan kalkmış görünen payda kısıtları tanım kümesinde korunur.
Sık sorulan sorular
Toplama, çıkarma ve çarpma işlem fonksiyonlarının tanım kümesi nasıl bulunur?
f ve g fonksiyonlarının tanım kümeleri kesiştirilir. Yalnızca iki fonksiyonda da tanımlı olan x değerleri kullanılabilir.
Bölme işleminde neden paydanın sıfır olmaması gerekir?
Sıfıra bölme tanımlı olmadığı için g(x) = 0 yapan x değerleri bölüm fonksiyonunun tanım kümesinden çıkarılır.
Sadeleştirme sonrasında tanım kümesi kısıtı silinir mi?
Hayır. İlk işlem ifadesinde paydayı sıfır yapan değerler, ifade sadeleşse bile tanım kümesine geri eklenmez.
İki işlem fonksiyonu ne zaman eşittir?
Aynı tanım kümesine sahip olmalı ve bu tanım kümesindeki her x için aynı değeri vermelidir.