Trigonometrik Fonksiyonlar: Sinüs, Kosinüs ve Tanjant

Dik üçgende sinüs, kosinüs ve tanjant

Bir dik üçgende seçilen dar açıya göre üç kenarın görevleri belirlenir. Dik açının karşısındaki en uzun kenara hipotenüs, seçilen açının karşısındaki kenara karşı kenar, açının yanında bulunan ve hipotenüs olmayan kenara komşu kenar denir. Bu adlandırmalar seçilen açı değiştiğinde değişebilir; hipotenüs ise her zaman dik açının karşısındadır.

Sinüs, karşı kenarın hipotenüse oranıdır: sin açı = karşı kenar / hipotenüs. Kosinüs, komşu kenarın hipotenüse oranıdır: cos açı = komşu kenar / hipotenüs. Tanjant ise karşı kenarın komşu kenara oranıdır: tan açı = karşı kenar / komşu kenar. Oran kullanıldığı için üçgen büyütülse veya küçültülse bile aynı açıya ait trigonometrik değer değişmez; çünkü karşılıklı kenar uzunlukları aynı oranda değişir.

Örneğin, bir dik üçgende seçilen açıya göre karşı kenar 3, komşu kenar 4 ve hipotenüs 5 birim olsun. Bu durumda sin açı = 3/5, cos açı = 4/5 ve tan açı = 3/4 olur. Aynı şekil iki kat büyütülüp kenarlar 6, 8 ve 10 birim yapılırsa oranlar yine 3/5, 4/5 ve 3/4 olarak kalır. Bu nedenle trigonometrik fonksiyonlar tek başına kenar uzunluğunu değil, açı ile kenarların oransal ilişkisini anlatır.

Birim çemberde sinüs ve kosinüs

Birim çember, merkezi koordinat düzleminin başlangıç noktası olan ve yarıçapı 1 birim olan çemberdir. Başlangıç ışını pozitif x ekseni kabul edilir. Başlangıçtan belirli bir açıyla çizilen ışının birim çemberi kestiği noktanın koordinatları (x, y) ise cos açı = x ve sin açı = y olarak tanımlanır. Böylece kosinüs yatay koordinatı, sinüs ise düşey koordinatı verir.

Bu tanım dik üçgendeki oranlarla da uyuşur. Çember üzerindeki noktanın başlangıç noktasına uzaklığı 1 olduğundan, bu noktanın oluşturduğu dik üçgende yatay kenar kosinüse, düşey kenar sinüse, hipotenüs ise 1'e karşılık gelir. Açının birinci bölgenin dışına taşınması durumunda da koordinatlar tanımı korur; yalnızca x veya y koordinatının işareti değişebilir. Bu yüzden birim çember, sinüs ve kosinüsü yalnızca dar açılar için değil, 0° ile 360° arasındaki tüm açılar için yorumlamayı sağlar.

Örneğin 90°'lik açı, birim çemberin üst noktasına ulaşır. Bu noktanın koordinatları (0, 1) olduğundan cos 90° = 0 ve sin 90° = 1 olur. 180°'lik açı ise sol uç noktaya karşılık gelir; koordinat (-1, 0) olduğu için cos 180° = -1 ve sin 180° = 0'dır. Bu örneklerde işaretler ve değerler doğrudan çember üzerindeki noktanın koordinatlarından okunur.

Tanjantın sinüs ve kosinüsle ilişkisi

Dik üçgendeki oranlar birlikte yazıldığında tanjantın sinüs ve kosinüsün oranı olduğu görülür: tan açı = sin açı / cos açı. Çünkü sin açı = karşı kenar / hipotenüs, cos açı = komşu kenar / hipotenüstür; bu iki oran bölündüğünde hipotenüsler sadeleşir ve karşı kenar / komşu kenar kalır. Birim çemberde de aynı ilişki geçerlidir: tanjant, düşey koordinatın yatay koordinata oranıdır. Bu nedenle tanjant, sinüsün kosinüse bölünmesiyle hesaplanabilir; ancak kosinüsün sıfır olduğu açılarda bu bölme yapılamaz.

Açı ölçüsü ve temel açıların değerleri

Açılar günlük matematikte çoğunlukla derece ile ölçülür. Tam dönüş 360° olduğundan yarım dönüş 180°, çeyrek dönüş 90° olur. Dik üçgende kullanılan açı 0° ile 90° arasında olduğundan, bu aralıkta sinüs, kosinüs ve tanjant değerleri kenar oranlarıyla bulunur. Birim çember ise açının tam dönüş içindeki konumunu kullanarak 90°'den büyük açılara da değer verir.

Temel açıların değerleri özel dik üçgenlerden ve birim çemberden elde edilir. En çok kullanılan değerler şöyledir: 0° için sin 0° = 0, cos 0° = 1 ve tan 0° = 0. 30° için sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2 ve tan 30° = √3/3. 45° için sin 45° = √2/2, cos 45° = √2/2 ve tan 45° = 1. 60° için sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2 ve tan 60° = √3. 90° için sin 90° = 1, cos 90° = 0; tanjant ise tanımsızdır.

Örneğin 30° için karşı kenar, hipotenüsün yarısına eşittir. Bu nedenle sin 30° = 1/2 olur. Aynı özel üçgende komşu kenar ile hipotenüs arasındaki oran cos 30° = √3/2'dir. Bu iki değer kullanılarak tan 30° = sin 30° / cos 30° = (1/2)/(√3/2) = √3/3 bulunur. 45°'lik ikizkenar dik üçgende iki dik kenar eşit olduğundan sinüs ve kosinüs değerleri eşit, tanjant değeri ise 1 olur.

Radyan, açıyı çember yayının uzunluğuyla ilişkilendiren başka bir ölçü birimidir; tam dönüş 2π radyana karşılık gelir. Derece ve radyan dönüşümü gereken hesaplarda kullanılan temel eşitlik 180° = π radyandır. Radyanların ayrıntılı kullanımı ayrı bir konudur.

Bölgelerde işaretler ve temel tanım koşulları

Birim çemberde bir açının bitiş ışınının bulunduğu bölge, sinüs ve kosinüsün işaretini belirler. Birinci bölgede x ve y koordinatları pozitif olduğu için sinüs ve kosinüs pozitiftir. İkinci bölgede x negatif, y pozitif olduğundan sinüs pozitif, kosinüs negatiftir. Üçüncü bölgede her iki koordinat da negatif olduğundan sinüs ve kosinüs negatiftir. Dördüncü bölgede x pozitif, y negatif olduğu için kosinüs pozitif, sinüs negatiftir. Tanjant sinüsün kosinüse oranı olduğundan işareti, pay ve paydanın işaretlerinin aynı veya farklı olmasına göre belirlenir: birinci ve üçüncü bölgede pozitif, ikinci ve dördüncü bölgede negatiftir.

Fonksiyonların tanım koşulları da bu koordinat yorumundan çıkar. Sinüs ve kosinüs, birim çemberdeki y ve x koordinatları olduğundan her açı için değer alabilir ve değerleri -1 ile 1 arasındadır. Tanjant ise tan açı = sin açı / cos açı olduğundan cos açı = 0 olan açılarda tanımsızdır. Birim çemberde cos açı, x koordinatıdır; x koordinatının sıfır olduğu 90° ve 270° yönlerinde tanjant hesaplanamaz. Dik üçgen açısından bakıldığında da bunun nedeni komşu kenarın sıfır olması ve karşı kenarın komşu kenara bölünememesidir.

Kotanjant, sekant ve kosekant; tanjant, kosinüs ve sinüsle ilişkili diğer trigonometrik fonksiyonlardır ve bu makalenin kapsamı dışında yalnızca adlarıyla anılmıştır. Trigonometrik fonksiyonların grafikleri, özdeşlikleri, ters fonksiyonları ve gerçek hayat uygulamaları ayrı konularda incelenir; trigonometrik denklemler ve eşitsizlikler için ilgili konuya geçilebilir.