Polinom Nedir? Terimleri, Derecesi ve Temel Özellikleri

Polinomun tanımı ve genel gösterimi

Polinom, her biri bir katsayı ile değişkenin negatif olmayan tam sayı kuvvetinin çarpımından oluşan terimlerin toplama veya çıkarma yoluyla birleştirilmesiyle elde edilen cebirsel ifadedir. Buradaki negatif olmayan tam sayı kuvvetleri 0, 1, 2, 3 gibi değerlerdir. Bu nedenle değişken; kesirli, negatif ya da değişkenin paydada yer aldığı bir kuvvetle kullanılmaz.

Bir değişkenli polinomun genel gösterimi P(x) = a_n x^n + a_(n-1) x^(n-1) + ... + a_1 x + a_0 biçimindedir. Burada x değişkeni, a katsayıları ve n en büyük üs değeridir. Katsayılar gerçek sayılar olabilir; sıfır, pozitif veya negatif olmaları polinom olma koşulunu bozmaz. Örneğin P(x) = 4x^3 - 2x^2 + x - 7 ifadesinde her üs negatif olmayan tam sayıdır ve ifade bu nedenle polinomdur. x teriminde üs açıkça yazılmamış olsa da üs 1 kabul edilir; son terim olan -7 ise değişken içermeyen bir sabit terimdir.

Polinomun standart biçiminde terimler genellikle üsler büyükten küçüğe doğru sıralanır. Bu sıralama, en yüksek dereceli terimi ve dolayısıyla polinomun derecesini hızlıca görmeyi sağlar. Örneğin 3 - x^4 + 2x ifadesi de polinomdur; standart biçimde -x^4 + 2x + 3 olarak yazılır.

Polinomun terimleri, katsayıları ve sabit terimi

Bir polinomda toplama veya çıkarma işaretleriyle ayrılan her parçaya terim denir. Bir terimde değişkenin kuvveti ile onu çarpan sayı birlikte bulunur. Bu sayıya katsayı adı verilir. Örneğin P(x) = 5x^3 - 4x + 9 polinomunda terimler 5x^3, -4x ve 9; bu terimlerin katsayıları ise sırasıyla 5, -4 ve 9'dur.

Değişken içermeyen terime sabit terim denir. Bu terimde x bulunmadığı için değişkenin kuvvetiyle birlikte yazılması gerekmez; sabit terim, polinomun sonunda yer alan tek başına bir sayı gibi okunur. Önceki örnekte 9 sabit terimdir. x^2 teriminin katsayısı yazılmamışsa katsayı 1, -x^2 teriminin katsayısı ise -1 kabul edilir. Böylece yazımda görünmeyen katsayılar da polinomun yapısına dahil edilir.

Değişken ve katsayı gösterimi, polinomun hangi harfi değişken olarak kullandığını ve her terimin hangi sayı ile çarpıldığını belirtir. Bu gösterim yalnızca tanıma yardımcı olur; terimlerin derecesi ve polinomun genel yapısı ayrıca üsler incelenerek belirlenir.

Polinomun derecesi ve baş katsayısı

Bir polinomun derecesi, polinomda bulunan değişken üslerinin en büyüğüdür. Başka bir ifadeyle, en yüksek dereceli terimin derecesi polinomun derecesini verir. En yüksek dereceli bu terime baş terim, baş terimin katsayısına da baş katsayı denir. Polinom standart biçimde yazılmışsa baş terim genellikle en başta bulunur.

Örneğin P(x) = -6x^5 + 3x^2 - x + 8 polinomunda en büyük üs 5 olduğu için polinomun derecesi 5'tir. Baş terim -6x^5, baş katsayı ise -6'dır. Burada sabit terim 8 olsa da derecenin belirlenmesinde sabit terimden daha büyük olan 5 üssü dikkate alınır. Katsayının kesir veya ondalık olması da dereceyi değiştirmez; dereceyi belirleyen unsur değişkenin en büyük tam sayı kuvvetidir.

Sabit ve değişken içeren terimlerin dereceleri farklı olabilir. Örneğin 7x^3 - 2x + 11 ifadesinde terim dereceleri sırasıyla 3, 1 ve 0'dır; en büyük değer 3 olduğu için polinomun derecesi 3, baş katsayısı da 7'dir. Yalnızca sıfırdan farklı bir sabitten oluşan polinomun derecesi 0 kabul edilir. Sıfır polinomu ise bütün katsayıları sıfır olan özel bir durumdur; bu polinom için derece, kullanılan tanıma göre ayrıca ele alınır.

Polinom olan ve olmayan ifadeler

Bir ifadenin polinom olabilmesi için değişkenin her üssü negatif olmayan bir tam sayı olmalıdır. Örneğin 3x^4 - x^2 + 6, x^3 + 2x - 1 ve 5 gibi ifadeler polinomdur. Sabit bir sayı da değişken içermese bile polinom sayılır; çünkü sabit terimin derecesi 0'dır.

Buna karşılık x^(-2) ifadesi polinom değildir; değişkenin üssü negatiftir. √x de polinom değildir, çünkü x'in kuvveti 1/2 olarak düşünülebilir ve bu üs tam sayı değildir. 1/x ifadesi de x^(-1) biçiminde yazılabildiği için polinom koşulunu sağlamaz. Değişkenin paydada bulunması, ifadenin polinom olmadığını anlamanın doğrudan yollarından biridir.

Üslerin uygun olması tek başına yeterlidir; terimlerin katsayıları farklı türde gerçek sayılar olabilir. Örneğin (1/2)x^2 - 0,75x + 4 ifadesi, kesirli katsayılar içerse de polinomdur. Burada kesirli olan katsayıdır, değişkenin üssü değil; bu iki durum birbirine karıştırılmamalıdır.

Polinomların temel sınıflandırılması

Polinomlar terim sayılarına ve derecelerine göre temel sınıflara ayrılabilir. Yalnızca bir terimden oluşan polinoma tek terimli polinom, iki terimden oluşana iki terimli polinom, üç terimden oluşana üç terimli polinom denir. Terim sayısına göre yapılan bu adlandırmalar, polinomun yapısını hızlıca tanımayı sağlar.

Dereceye göre sınıflandırmada sabit polinomun derecesi 0'dır. Birinci dereceden polinomlarda en büyük değişken üssü 1'dir ve genel biçim ax + b şeklindedir; burada a sıfırdan farklı olmalıdır. En büyük üssü 2 olanlar ikinci dereceden, en büyük üssü 3 olanlar üçüncü dereceden polinom olarak adlandırılır. Örneğin 8 sabit polinom, 4x - 1 birinci dereceden polinom, x^2 + 3x + 2 ikinci dereceden polinomdur.

Sıfır polinomu, bütün katsayıları sıfır olan özel polinomdur. Bir ifadenin hem terim sayısına hem de derecesine göre birden fazla özelliği olabilir; örneğin 6x^2 tek terimli ve ikinci dereceden bir polinomdur. Tek terimli ve iki terimli polinomların adlandırılması, terim sayısını temel alan kısa bir sınıflandırmadır.

Polinomlarda toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri ayrı bir konuda incelenir. Polinomlarda çarpanlara ayırma, ifadeyi çarpanlarının çarpımı biçiminde yazmayı ele alır. Polinom denklemleri ve polinom fonksiyonları ise polinomların denklem ve fonksiyon bağlamındaki kullanımını açıklar.